2022-2023学年湖北省荆州市沙市区岑河镇岑河中学高二数学文模拟试卷含解析

2022-2023学年湖北省荆州市沙市区岑河镇岑河中学高二数学文模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x=0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∩B=（　　） 　 A． {0} B． {1} C． {0，1} D． ? 参考答案： A 略 2. 圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．(－1, －2)，4         B．(1,2)，4       C．(－1,－2)，2        D．(1,2)，2 参考答案： D ,所以圆心坐标和半径分别为，;选D.   3. 抛物线上一点M到焦点的距离为，则点M到轴的距离为（    ） A.          B.           C.      D. 参考答案： A 4. 函数处的切线方程是                 （  ） A． B．  C．   D． 参考答案： D 略 5. 抛物线y2=8x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是（　　） A． B． C．1 D． 参考答案： B 【考点】KC：双曲线的简单性质． 【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论． 【解答】解：抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4， ∴抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）， 由题得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为x±y=0， ∴F到其渐近线的距离d==． 故选：B． 6. 已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0的解集为（　　） A．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（1，2） C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞） 参考答案： D 【考点】函数的单调性与导数的关系． 【分析】根据题意结合图象求出f′（x）＞0的解集与f′（x）＜0的解集，因此对原不等式进行化简与转化，进而得到原不等式的答案． 【解答】解：由图象可得：当f′（x）＞0时，函数f（x）是增函数，所以f′（x）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞）， 当f′（x）＜0时，函数f（x）是减函数，所以f′（x）＜0的解集为（﹣1，1）． 所以不等式f′（x）＜0即与不等式（x﹣1）（x+1）＜0的解集相等． 由题意可得：不等式（x2﹣2x﹣3）f′（x）＞0等价于不等式（x﹣3）（x+1）（x+1）（x﹣1）＞0， 所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）， 故选D． 7. 与直线2x﹣y+4=0的平行的抛物线y=x2的切线方程是（　　） A．2x﹣y+3=0 B．2x﹣y﹣3=0 C．2x﹣y+1=0 D．2x﹣y﹣1=0 参考答案： D 【考点】两条直线平行的判定；直线的一般式方程． 【分析】根据切线与直线2x﹣y+4=0的平行，可利用待定系数法设出切线，然后与抛物线联立方程组，使方程只有一解即可． 【解答】解：由题意可设切线方程为2x﹣y+m=0 联立方程组得x2﹣2x﹣m=0 △=4+4m=0解得m=﹣1， ∴切线方程为2x﹣y﹣1=0， 故选D 8. 如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（　　） A．在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数 B．在（1，3）上f（x）是减函数 C．在（4，5）上f（x）是增函数 D．当x=4时，f（x）取极大值 参考答案： C 【考点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性． 【分析】由于f′（x）≥0?函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0?单调f（x）单调递减，观察f′（x）的图象可知，通过观察f′（x）的符号判定函数的单调性即可 【解答】解：由于f′（x）≥0?函数f（x）d单调递增；f′（x）≤0?单调f（x）单调递减 观察f′（x）的图象可知， 当x∈（﹣2，1）时，函数先递减，后递增，故A错误 当x∈（1，3）时，函数先增后减，故B错误 当x∈（4，5）时函数递增，故C正确 由函数的图象可知函数在4处取得函数的极小值，故D错误 故选：C 9. 把颜色分别为红、黑、白的3个球随机地分给甲、乙、丙3人，每人分得1个球. 事件“甲分得白球”与事件“乙分得白球”是(   ) Ａ. 对立事件      　B. 不可能事件        C. 互斥事件       D. 必然事件 参考答案： C 略 10. 化简复数 =                                              （  ） A．i               B．   －i          C．2              D．2i                                        参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设数列的通项公式为，则 _____________.                 参考答案： 58 略 12. 若，则的值为     ． 参考答案： 4 13. 设表示等比数列的前n项和，已知，则__________。 参考答案： 13 14. 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题： ①若m?α，l∩α=A，点A?m，则l与m不共面； ②若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α； ③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m； ④若l?α，m?α，l∩m=点A，l∥β，m∥β，则α∥β． 其中为真命题的是　　． 参考答案： ①②④ 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系． 【专题】阅读型． 【分析】根据空间中异面直线的判定定理，线面垂直的判定方法，线线关系的判定方法，及面面平行的判定定理，我们对题目中的四个结论逐一进行判断，即可得到结论． 【解答】解：m?α，l∩α=A，A?m，则l与m异面，故①正确； 若m、l是异面直线，l∥α，m∥α，在则α内必然存在两相交直线a，b使a∥m，b∥l， 又由n⊥l，n⊥m，则n⊥a，n⊥b，∴n⊥α，故②正确； 若l∥α，m∥β，α∥β，则l与m可能平行与可能相交，也可能异面，故③错误； 若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则由面面平行的判定定理可得α∥β，故④正确； 故答案为：①②④ 【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间中线面之间位置关系的定义、判定方法和性质定理，建立良好的空间想像能力是解答此类问题的关键． 15. 不等式ax2+4x+a＜1﹣2x2对?x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： （﹣∞，﹣3） 【考点】二次函数的性质． 【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用． 【分析】由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＜0恒成立，讨论a+2=0，a+2＜0，判别式小于0，a+2＞0，解不等式即可得到所求范围． 【解答】解：由题意可得（a+2）x2+4x+a﹣1＜0恒成立， 当a+2=0，即a=﹣2时，不等式为4x﹣3＜0不恒成立； 当a+2＜0，即a＜﹣2，判别式小于0，即16﹣4（a+2）（a﹣1）＜0， 解得a＞2或a＜﹣3，可得a＜﹣3； 当a+2＞0，不等式不恒成立． 综上可得，a的范围是a＜﹣3． 故答案为：（﹣∞，﹣3）． 【点评】本题考查二次不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题． 16. 已知函数，则   ． 参考答案： .   略 17. 过原点且倾斜角为30°的直线被圆x2+y2﹣6y=0所截得的弦长为　　． 参考答案： 3 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆． 【分析】由题意可得直线方程为y=x，求出圆心到直线的距离d==，故弦长为2=3． 【解答】解：原点且倾斜角为30°的直线的斜率等于，故直线方程为y=x，即x﹣3y=0． 圆x2+y2﹣6y=0即x2+（y﹣3）2=27，表示以（0，3）为圆心，以3为半径的圆， 故圆心到直线的距离d==，故弦长为2=3， 故答案为：3． 【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，求出圆心 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）如图，三棱柱中，，，。 （1）证明：； （2）若，，求三棱柱的体积。 参考答案： （1）取AB的中点0，连结，因为，所以，由于，所以，所以平面，所以 （2）由（1）知O是AB中点，均为正三角形，所以，又，所以为直角三角形，从而，又，所以平面。故 19. （本小题满分12分）如图，建立平面直角坐标系，轴在地面上，轴垂直于地面，单位长度为1千米，，某炮位于坐标原点。已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。 (1)求炮的最大射程； （2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。 参考答案： 略 20. 如图，三棱柱ABC - A1B1C1中，，，. （1）证明：； （2）若平面ABC⊥平面AA1B1B，，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 参考答案： （1）见解析； （2） . 【分析】 （1）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，由已知可证OA1⊥AB，AB⊥平面OA1C，进而可得AB⊥A1C； （2）易证OA，OA1，OC两两垂直．以O为坐标原点，的方向为x轴的正向，||为单位长，建立坐标系，可得，，的坐标，设=（x，y，z）为平面BB1C1C的法向量，则，可解得=（，1，﹣1），可求|cos＜，＞|，即为所求正弦值． 【详解】（1）取AB的中点O，连结OC，，. 因为，所以. 由于，，故为等边三角形，所以. 因为，所以平面. 又平面，故.    （2）由（1）知，. 又平面平面，交线为，所以平面，故，，两两相互垂直. 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题设知，，，. 则，，.    设是平面法向量， 则    即 可取. 故 ， 所以与平面所成角的正弦值为. 【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 21. 在等比数列中，已知 ，求： （1）数列的通项公式；（2）数列的前项和．ks5u 参考答案： 解：（1）由已知 ，，易得2， 所以数列的通项公式 （2）． 略 22. 观察下列等式，猜想一个一般性的结论，并用数学归纳法证明． 1﹣x2=（1﹣x）（1+x）， 1﹣x3=（1﹣x）（1+x+x2）， 1﹣x4=（1﹣x）（1+x+x2+x3）． 参考答案： 归纳猜想得：1﹣xn=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1），n∈N*．检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立 解：归纳猜想得：1﹣xn=（1﹣x）（1+x+x2+x3+…+xn﹣1），n∈N*． 证明如下：①当n=1时，左边=1﹣x，右边=1﹣x，猜想成立；         ②假设n=k（k≥1）时猜想成