2022-2023学年广东省汕头市潮阳田心中学高三数学文测试题含解析

2022-2023学年广东省汕头市潮阳田心中学高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数，对任意的正数x，f(x)≥0恒成立，则m的取值范围是 A．         B．    C．   D． 参考答案： A 2. 若loga2<0(a>0，且a≠1)，则函数f(x)＝loga(x＋1)的图象大致是(　　) 参考答案： B 略 3. 在空间直角坐标系中，过点作直线的垂线，则直线与平面的交点的坐标满足条件 A． B． C． D． 参考答案： C 4. 已知三棱锥底面是边长为1的正三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为(　　) A．　　　　　  B．        C．                     D． 参考答案： D 5. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 6. 过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（　　） A． B．2 C．2 D．3 参考答案： C 【考点】KN：直线与抛物线的位置关系；K8：抛物线的简单性质． 【分析】利用已知条件求出M的坐标，求出N的坐标，利用点到直线的距离公式求解即可． 【解答】解：抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0），且斜率为的直线：y=（x﹣1）， 过抛物线C：y2=4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l 可知：，解得M（3，2）． 可得N（﹣1，2），NF的方程为：y=﹣（x﹣1），即， 则M到直线NF的距离为： =2． 故选：C． 7. 执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足 （A）y=2x                            （B）y=3x  （C）y=4x                            （D）y=5x 参考答案： C 试题分析：当时，，不满足； ，不满足；，满足；输出，则输出的的值满足，故选C. 8. 中心在原点，焦点在x轴上的双曲线，一条渐近线方程是，则双曲线的离心率是（   ） A.               B.             C.            D. 2 参考答案： D 9. 设i为虚数单位，则复数的共轭复数（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。 【详解】解：， 故选：A． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，， ，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。   10. 在△ABC中，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的（　　） A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： C 【考点】29：充要条件． 【分析】由A，B，C成等差数列即可得到B=60°，而根据余弦定理即可得到a2+c2﹣b2=ac，这样即可求得（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，这就说明A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分条件；而由（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，便可得到a2+c2﹣b2=ac，从而根据余弦定理求出B=60°，再根据三角形内角和为180°即可说明B﹣A=C﹣B，即得到A，B，C成等差数列，这样即可找出正确选项． 【解答】解：（1）如图，若A，B，C成等差数列：2B=A+C，所以3B=180°，B=60°； ∴由余弦定理得，b2=a2+c2﹣ac； ∴a2+c2﹣b2=ac； ∴（b+a﹣c）（b﹣a+c）=b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=﹣ac+2ac=ac； 即（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac； ∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充分条件； （2）若（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac，则： b2﹣（a﹣c）2=b2﹣a2﹣c2+2ac=ac； ∴a2+c2﹣b2=ac； 由余弦定理：a2+c2﹣b2=2ac?cosB； ∴； ∴B=60°； ∴60°﹣A=180°﹣（A+60°）﹣60°； 即B﹣A=C﹣B； ∴A，B，C成等差数列； ∴A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的必要条件； ∴综上得，A，B，C成等差数列是（b+a﹣c）（b﹣a+c）=ac的充要条件． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （不等式选讲）已知a,b均为正数且的最大值为       ． 参考答案： 12. 出下列命题     ①若是奇函数，则的图象关于y轴对称；     ②若函数f(x)对任意满足，则8是函数f(x)的一个周期；     ③若，则；     ④若在上是增函数，则。     其中正确命题的序号是___________. 参考答案： 1 2 4 略 13. 设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，x∈R}．若B?A，则实数a的取值范围是________． 参考答案： (－∞，－1]∪{1} 解析　因为A＝{0，－4}，所以B?A分以下三种情况： ①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 解得a＝1； ②当B≠?且BA时，B＝{0}或B＝{－4}， 并且Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意； ③当B＝?时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1. 综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，－1]∪{1}． 14. 命题“，”是    ▲    命题（选填“真”或“假”）. 参考答案：    真 15. 已知=1+i，则|z|=　   　． 参考答案： 【考点】A8：复数求模． 【分析】求出复数z，运用复数商的模为模的商，结合模的公式计算即可得到所求． 【解答】解： =1+i， 可得z=， 即有|z|=|=|= ==． 故答案为：． 16. 如图，已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体 的最长的棱长为________(cm). 参考答案： 4 17. 已知为锐角，且，则的值为_________. 参考答案： 试题分析:由可得,即,又为锐角,,故应填答案. 考点：三角变换的公式及运用. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图是单位圆上的动点，且分别在第一,二象限.是圆与轴正半轴的交点，为正三角形. 若点的坐标为.  记． （1）若点的坐标为,求的值；  （2）求的取值范围. 参考答案： 解：（Ⅰ）因为A点的坐标为，根据三角函数定义可知， ，得，.................................2分 所以＝..........................5分 （Ⅱ）因为三角形AOB为正三角形，所以， 所以 ==...............................6分 所以=.........7分  ,  , 即,.................................9分 .................................10分 19. 已知函数  (1) 当时，求函数的最值； (2) 求函数的单调区间； (3) 试说明是否存在实数使的图象与无公共点. 参考答案： 解：（1） 函数f(x)=x2-ax-aln(x-1)(a∈R)的定义域是(1,+∞)……………………1分 当a=1时，，所以f (x)在为减函数  ………………3分 在为增函数，所以函数f (x)的最小值为=.………………………5分 (2) ………………………………………………6分 若a≤0时，则f(x)在(1,+∞)恒成立，所以f(x)的增区间为(1,+∞).…………………………………………………………………………8分 若a＞0，则故当， ，………… 9分 当时，f(x) , 所以a＞0时f(x)的减区间为，f(x)的增区间为.………10分  (3) a≥1时，由（1）知f(x)在(1,+∞)的最小值为，……11分 令在 [1,+∞)上单调递减， 所以则>0，…………………………12分 因此存在实数a(a≥1)使f(x)的最小值大于， 故存在实数a(a≥1)使y=f(x)的图象与无公共点.……………………………14分 略 20. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ． （I）求出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程； （II）设直线l与曲线C的交点为A，B，求|AB|的值． 参考答案： 【分析】（1）使用加减消元法消去参数t即得直线l的普通方程，将极坐标方程两边同乘ρ即可得到曲线C的直角坐标方程； （2）求出曲线C的圆心到直线l的距离，利用垂径定理求出|AB|． 【解答】解：（I）∵（t为参数），∴x﹣y=， 即直线l的普通方程为﹣y+2﹣=0． 由ρ=2sinθ得ρ2=2ρsinθ，即x2+y2=2y． ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2=2y．即x2+（y﹣）2=3． （II）由（1）知曲线C的圆心为（0，），半径r=． ∴曲线C的圆心到直线l的距离d==． ∴|AB|=2=2=2． 【点评】本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题． 21. 已知点F为抛物线C：x2=4y的焦点，A，B，D为抛物线C上三点，且点A在第一象限，直线AB经过点F，BD与抛物线C在在点A处的切线平行，点M为BD的中点 （Ⅰ）求证：AM与y轴平行； （Ⅱ）求△ABD面积S的最小值． 参考答案： 【考点】抛物线的简单性质． 【分析】（I）设出A，B，D三点坐标，根据kBD=y′|列方程．根据根与系数的关系求出M的横坐标即可； （II）求出直线BD的方程，求出AM和B到直线AM的距离，则S△ABD=2S△ABM，求出S关于xA的函数，利用基本不等式求出函数的最小值． 【解答】证明：（Ⅰ）设A（x0，），B（x1，），D（x2，）．（x0＞0） 由x2=4y得y=， ∴y′=， ∴kBD=， 又kBD==， ∴=， ∴=x0，即xM=x0． ∴AM与y轴平行． 解：（Ⅱ）F（0，1）， ∴kAF==，kBF==． ∵A，B，F三点共线， ∴kAF=kBF， ∴=，整理得（x0x1+4）（x0﹣x1）=0， ∵x0﹣x1≠0， ∴x0x1=﹣4，即x1=﹣． 直线BD的方程为y=（x﹣x1）+， ∴yM=（x0﹣x1）+=++2=++2． 由（Ⅰ）得S△ABD=2S△ABM=|++2﹣|×|x1﹣x0| =|++2|×|x0+|=（x0+）3≥16， 当且仅当x0=即x0=2时等号成立， ∴S的最小值为16． 22. (本小题满分12分) 已知函数(e为自然对数的底数). (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间； (Ⅱ)若，，试求函数g(x)极小值的最大值.   参考答案： (Ⅰ)易