2021年浙江省衢州市志方中学高二数学理期末试题含解析

2021年浙江省衢州市志方中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若点P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝则此椭圆的离心率e＝（    ） A、           B、        C、          D、 参考答案： A 2. 如图所示，图中有5组数据，去掉　　　组数据后（填字母代     号），剩下的4组数据的线性相关性最大（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 参考答案： A 略 3. 已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过F2作垂直于实轴的直线PQ交双曲线于P，Q两点，若∠PF1Q=，则双曲线的离心率e等于（　　） A． +2 B． +1 C． D．﹣1 参考答案： B 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题设条件我们知道|PQ|=，|F1F2|=2c，|QF1|=，因为∠PF2Q=90°，则2（+4c2）=，据此可以推导出双曲线的离心率． 【解答】解：由题意可知通径|PQ|=，|F1F2|=2c，|QF1|=， ∵∠PF2Q=90°，∴2（+4c2）=，∴b4=4a2c2 ∵c2=a2+b2，∴c4﹣6a2c2+a4=0，∴e4﹣6e2+1=0 ∴e2=3+2或e2=3﹣2（舍去） ∴e=+1． 故选B． 4. 已知随机变量X满足D(X)＝2，则D(3X＋2)＝(　　) A．2　　　　    B．8　　　　C．18　　　　   D．20 参考答案： C 略 5. 一个三棱锥的正视图和侧视图如图所示(均为真角三角形),则该三棱锥的体积为（   ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 24 参考答案： B 【分析】 根据三视图知，三棱锥的一条长为6的侧棱与底面垂直，底面是直角边为2、4的直角三角形，利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】 由三视图知三棱锥的侧棱与底垂直，其直观图如图， 可得其俯视图是直角三角形，直角边长为2，4， ， 棱锥的体积，故选B. 【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于中档题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状. 6. 在△ABC中，a=2，b=，A=45°，则B等于（　　） A．45° B．30° C．60° D．30°或150° 参考答案： B 【考点】HP：正弦定理． 【分析】利用正弦定理列出关系式，将a，b及cosA的值代入求出sinB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数． 【解答】解：∵A=45°，a=2，b=， ∴由正弦定理得：sinB===， ∵2＞，即a＞b，∴A＞B， 则B=30°． 故选：B． 7. 下列求导运算正确的是                            (    ) A .          B . C .            D. 参考答案： B 略 8. 抛物线的准线方程是，则的值为(　　) A.          B．       C．4        D．－4 参考答案： B 略 9. 下列命题正确的是（      ） A. 直线与平面不平行，则直线与平面内的所有直线都不平行 B．如果两条直线在平面内的射影平行，则这两条直线平行 C．垂直于同一直线的两个平面平行 D．直线与平面不垂直，则直线与平面内的所有直线都不垂直 参考答案： C 10. 若是定义在上的可导函数，且满足，则必有                                                 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 不等式|x﹣1|+|x+2|≥5的解集为　　． 参考答案： （﹣∞，﹣3]∪[2，+∞） 【考点】绝对值不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求． 【解答】解：由不等式|x﹣1|+|x+2|≥5，可得①，或    ②，或 ③． 解①求得x≤﹣3，解②求得 x∈?，解③求得x≥2． 综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）， 故答案为：（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）． 【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题． 12. 若是纯虚数，则的值为          ． 参考答案：   . 13. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有                种.（用数字作答） 参考答案： 240 略 14. 命题“对任意的，都有”的否定为                         . 参考答案： 存在使得 15. 已知椭圆:，过点的直线与椭圆交于、两点，若点恰为线段的中点，则直线的方程为            参考答案： 16. 正方体ABCD﹣A1B1C1D1，异面直线DA1与AC所成的角为　　． 参考答案： 60° 【考点】异面直线及其所成的角． 【分析】由AC∥A1C1，知∠DA1C1是面直线DA1与AC所成的角，由此能示出异面直线DA1与AC所成的角． 【解答】解：∵AC∥A1C1，∴∠DA1C1是面直线DA1与AC所成的角， ∵DA1=A1C1=DC1， ∴∠DA1C1=60°， ∴异面直线DA1与AC所成的角为60°． 故答案为：60°． 17. 在直角坐标系中，直线的斜率是    ▲         参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线上的点对应的参数，射线与曲线交于点， （1）求曲线，的方程； （2）若点，在曲线上，求的值． 参考答案： 解：（I）将及对应的参数，代入，得， 即， 所以曲线的方程为（为参数），或.    设圆的半径为,由题意,圆的方程为,(或). 将点代入, 得,即. (或由,得,代入,得), 所以曲线的方程为,或. （II）因为点， 在在曲线上,      所以,,     所以. 19. (本小题满分16分) 观察以下等式： (1)                                                        请由以上给出的等式归纳出对任意n都成立的等式； (2)                                                        试用数学归纳法证明(1)的结论. 参考答案： 20. （本小题满分14分） 在班级活动中，4 名男生和3名女生站成一排表演节目：（写出必要的数学式，结果用数字作答） （1）三名女生不能相邻，有多少种不同的站法？ （2）4名男生相邻有多少种不同的排法？ （3）女生甲不能站在左端，女生乙不能站在右端，有多少种不同的排法？ （4）甲乙丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？（甲乙丙三位同学身高互不相等） 参考答案： （1）=1440;（2）=576;（3）=3720;（4）=840 。 其中（1）、（2）每题3分；（3）、（4）每题4分 21. 平面上有两点，点在圆周上，求使取最小值时点的坐标。 参考答案： 解析：在Δ中有，即当最小时，取最小值，而， 22. △ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边依次为a、b、c，求证：≥   参考答案： 略