2021年江西省吉安市七曜中学高一数学理上学期期末试题含解析

2021年江西省吉安市七曜中学高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知a，b为实数，则“a＞b”是“lna＞lnb”的（　　） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【分析】根据a，b的范围结合对数函数的性质确定充分条件，还是必要条件即可． 【解答】解：当a＜0或b＜0时，不能得到Ina＞Inb， 反之由Ina＞Inb即：a＞b＞0可得a＞b成立， 所以“a＞b”是“Ina＞Inb”的必要不充分条件， 故选：B． 2. 下列函数中与函数相等的函数是(     ) A.          B.         C.        D. 参考答案： D 3. 设函数，则下列结论错误的是（　　） A．D（x）的值域为{0，1} B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数 D．D（x）不是单调函数 参考答案： C 【考点】3B：分段函数的解析式求法及其图象的作法． 【分析】由函数值域的定义易知A结论正确；由函数单调性定义，易知D结论正确；由偶函数定义可证明B结论正确；由函数周期性定义可判断C结论错误，故选D 【解答】解：A显然正确； ∵=D（x）， ∴D（x）是偶函数， B正确； ∵D（x+1）==D（x）， ∴T=1为其一个周期， 故C错误； ∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0， 显然函数D（x）不是单调函数， 故D正确； 故选：C． 4. 已知正实数x，y满足，若对任意满足条件的x，y，都有恒成立，则实数a的最大值为(    ) A. B. 7 C. D. 8 参考答案： B 【分析】 由 ，利用，求得，恒成立，等价于恒成立，令，利用单调性求出的最小值，进而可得结果. 【详解】 ，且， 故，整理即， 又均为正实数，故， 又对于任意满足的正实数，均有恒成立， 整理可得恒成立，令， 令，时 所以在上递增， ，因此， 实数的最大值为7，故选B. 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立. 5. 某奶茶店的日销售收入y（单位：百元）与当天平均气温x（单位：℃）之间的关系如下： x ﹣2 ﹣1 0 1 2 y 5   2 2 1 通过上面的五组数据得到了x与y之间的线性回归方程： =﹣x+2.8；但现在丢失了一个数据，该数据应为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 参考答案： B 【考点】线性回归方程． 【分析】求出的值，代入方程，求出的值，从而求出丢失了的数据． 【解答】解：设该数据是a， =0，故=﹣x+2.8=2.8， ∴（5+a+2+2+1）=2.8， 解得：a=4， 故选：B． 　 6. 已知函数f（x）=x+tanx+1，若f（a）=2，则f（﹣a）的值为（　　） A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．3 参考答案： A 【考点】函数的值． 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用． 【分析】先求出a+tana=1，由此能求出f（﹣a）的值． 【解答】解：∵函数f（x）=x+tanx+1，f（a）=2， ∴f（a）=a+tana+1=2，∴a+tana=1， ∴f（﹣a）=﹣a﹣tana+1=﹣1+1=0． 故选：A． 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用． 7. （5分）已知空间两个点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，﹣2，1），则|AB|=（） A． 18 B． 12 C． D． 参考答案： C 考点： 空间两点间的距离公式． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 根据两点间的距离公式进行计算即可． 解答： ∵点A，B的坐标分别为A（1，2，2），B（2，﹣2，1）， ∴|AB|==3． 故选：C． 点评： 本题考查了空间直角坐标系中两点间的距离公式的应用问题，是容易题目． 8. 已知f(x2)＝lnx，则f(3)的值是(　　) A．ln3 B．ln8 C. ln3 D．－3ln2 参考答案： 　C 9. .函数的单调递增区间是（    ） A．                  B．          C．                    D．  参考答案： A 略 10. 已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（　　） Ａ．1                   Ｂ．1或4             Ｃ．4                   Ｄ．2或4 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. （5分）满足条件{1，2，3}?M?{1，2，3，4，5，6}的集合M的个数是        ． 参考答案： 7 考点： 子集与真子集． 专题： 探究型． 分析： 利用条件{1，2，3}?M?{1，2，3，4，5，6}，确定M的元素情况，进而确定集合M的个数． 解答： 方法1：∵{1，2，3}?M，∴1，2，3∈M，且集合M至少含有4个元素， 又M?{1，2，3，4，5，6}， ∴M={1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，3，6}， {1，2，3，4，5}，{1，2，3，4，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，3，4，5，6}，共7个． 方法2： 由条件可知，1，2，3∈M，且集合M至少含有4个元素，即集合M还有4，5，6，中的一个，两个或3个，即23﹣1=7个． 故答案为：7． 点评： 本题主要考查利用集合关系判断集合个数的应用，一是可以利用列举法进行列举，二也可以利用集合元素关系进行求解．含有n个元素的集合，其子集个数为2n个． 12. 若点C在以P为圆心，6为半径的弧（包括A、B两点）上，，且，则的取值范围为          ． 参考答案： 以点P为圆心建立如图所示的平面直角坐标系． 由题意得 ，设 ，则点C的坐标为． ∵ ， ∴ ， ∴，解得 ， ∴， 其中 ， ∵， ∴， ∴ ． ∴ 的取值范围为 ．   13. 已知长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=BC=1，AA1=2，点P是面BCD1A1上异于D1的一动点，则异面直线AD1与BP所成最小角的正弦值为         ． 参考答案： 如图，当时，直线与所成角最小， ，所以。   14. 下列命题：①终边在y轴上的角的集合是；②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；③把函数的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；④函数在上是减函数其中真命题的序号是            参考答案： ③ 略 15. 函数的定义域是　    　． 参考答案： 【分析】使y=（x+2）0有意义，则要求x+1≠0；使y=有意义，则必须3﹣2x＞0，据以上分析即可得出答案． 【解答】解：∵，解之得，且x≠﹣1． ∴函数的定义域是{x|x，且x≠﹣1}． 故答案是{x|x，且x≠﹣1}． 【点评】本题考查了函数的定义域，知道函数y=x0、y=、y=的定义域是解决此问题的关键． 16. 已知是偶函数，且定义域为则_________. 参考答案： 略 17. 如果幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，），则f（4）的值等于　　． 参考答案： 2 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域． 【分析】求出幂函数的解析式，然后求解函数值即可． 【解答】解：幂函数f（x）=xa的图象经过点（2，）， 所以，解得a=． 函数的解析式为：f（x）=． f（4）==2． 故答案为：2． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）设数列{bn}满足bn=，设数列{bn}的前n项和为Tn，若?n∈N*，不等式Tn﹣na＜0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式． 【分析】（Ⅰ）由得，故，可得=+1，利用等差数列的通项公式与数列递推关系即可得出． （II）利用“裂项求和”方法、数列的单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）由得，故， ∵an＞0，∴Sn＞0，∴=+1， ∴数列是首项为，公差为1的等差数列． ∴，∴，… 当n≥2时，，a1=1，… 又a1=1适合上式，∴an=2n﹣1．… （Ⅱ）将an=2n﹣1代入，… ∴… ∵Tn﹣na＜0，∴， ∵n∈N+，∴…∴， ∵2n+1≥3，， ，∴． 19. （1）设0＜x＜，求函数y＝x（3﹣2x）的最大值； （2）解关于x的不等式x2-（a+1）x+a＜0． 参考答案： （1）（2）见解析 【分析】 （1）由题意利用二次函数的性质，求得函数的最大值． （2）不等式即（x﹣1）（x﹣a）＜0，分类讨论求得它的解集． 【详解】（1）设0＜x，∵函数y＝x（3﹣2x）2，故当x时，函数取得最大值为． （2）关于x的不等式x2﹣（a+1）x+a＜0，即（x﹣1）（x﹣a）＜0． 当a＝1时，不等式即 （x﹣1）2＜0，不等式无解； 当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}； 当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}． 综上可得，当a＝1时，不等式的解集为?，当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}，当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，求二次函数的最值，一元二次不等式的解集，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题． 20. 如图所示，在平面直角坐标系中，锐角、的终边分别与单位圆交于A，B两点，点. （1）若点，求的值： （2）若，求. 参考答案： (1) (2) 【分析】 （1）根据计算，，代入公式得到答案. （2）根据,得到，根据计算得到答案. 【详解】解：（1）因为是锐角，且，在单位圆上， 所以，，， ∴ （2）因，所以， 且，所以，，可得：， 且， 所以， . 【点睛】本题考查了三角函数的计算，意在考查学生对于三角函数定义的理解和应用. 21. 如图，已知棱柱的底面是菱形，且面，，，为棱的中点，为线段的中点， （Ⅰ）求证： 面； （Ⅱ）判断直线与平面的位置关系，并证明你的结论； （Ⅲ）求三棱锥的体积. 参考答案： （Ⅰ）证明：连结、BD交于点O，再连结M0， 可得OM//AF且，四边形是平行四边形，由MF//OA，平面. （Ⅱ）平面 （Ⅲ）. 略 22. 已知函数（其中）的图象与轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为 （1）求的解析式； （2）当时，求的值域. 参考答案： （1）；（2）