2022-2023学年广东省云浮市千官中学高三数学文上学期期末试卷含解析

2022-2023学年广东省云浮市千官中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 把函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为(     ) A． B． C． D． 参考答案： A 【考点】正弦函数的对称性． 【专题】三角函数的图像与性质． 【分析】先对函数进行图象变换，再根据正弦函数对称轴的求法，即令ωx+φ=即可得到答案． 【解答】解：图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数； 再将图象向右平移个单位，得函数，根据对称轴处一定取得最大值或最小值可知是其图象的一条对称轴方程． 故选A． 【点评】本小题综合考查三角函数的图象变换和性质．图象变换是考生很容易搞错的问题，值得重视．一般地，y=Asin（ωx+φ）的图象有无数条对称轴，它在这些对称轴上一定取得最大值或最小值． 2. 在△ABC中，AB=AC，，则向量与的夹角为（ ） A．         B．       C．        D． 参考答案： B ∵，，∴，则向量与的夹角为.   3. 若定义在R上的二次函数在区间［0，2］上是增函数，且，则实数的取值范围是 (     ） A．     B．      C．         D．或 参考答案： A 4. 若复数为纯虚数，则实数的值为 A．3          B．1            C．-3          D．1或-3 参考答案： C 因为复数为纯虚数，所以，因此选C。 5. 若关于的方程有三个实根，，，且满足，则的最小值为 A．     B．        C． D．0 参考答案： B 试题分析：方程有三个实根，函数与函数的图象有三个交点，由图象可知，直线在之间，有3个交点，当直线过点时，此时最小，由于 得或，因此点，令化简得，的最小值. 考点：方程的根和函数的零点. 6. 设函数，则函数  （  ）    A.在区间，内均有零点               B.在区间，内均没有零点    C.在区间内有零点，区间内没有零点D.在区间内没有零点，区间内有零点 参考答案： D 略 7. 将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）?cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（　　） A．f（x）=﹣2sinx B．f（x）=2sinx C．f（x）=sin2x D．f（x）=（sin2x+cos2x） 参考答案： A 【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 【分析】将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，利用条件，可得结论． 【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx， ∵y=f（x）?cosx， ∴f（x）=﹣2sinx． 故选：A． 8. 已知函数，则f(x)的图象在点处的切线方程为　　 A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先由题求出f（x）的导函数，可得出在点（0，f（0））的斜率，再根据切线公式可得结果. 【详解】∵f（x）= ， ∴f′（x）=， ∴f′（0）=-1，f（0）=1， 即函数f（x）图象在点（0，1）处的切线斜率为-1， ∴图象在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x+1， 即x+y-1=0． 故选：B． 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，求导和熟悉公式是解题的关键，属于基础题. 9. 设全集,，则图中阴影部分表示的集合为（     ） A．       B． C．    D． 参考答案： B 10. 在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知△ABC的面积为，，，则的值为（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 通过三角形的面积以及已知条件求出，，利用正弦定理求解的值；再利用二倍角公式可求，的值，进而利用两角和的余弦化简得解. 【详解】在中，由，可得：， 由，可得：， ∵， ∴. 可得， 由余弦定理可得：，得， 由正弦定理，可得：． 所以，， 可得：． 故选：C 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式、二倍角公式和和角的余弦公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题函数的定义域为R；命题，不等式恒成立，如果命题““为真命题，且“”为假命题，则实数的取值范围是        参考答案： 【知识点】复合命题的真假．A2 【答案解析】   解析：若命题为真，则或.若命题为真，因为，所以.因为对于，不等式恒成立，只需满足，解得或.命题“”为真命题，且“”为假命题，则一真一假.      ①当真假时，可得；      ②当时，可得.      综合①②可得的取值范围是. 【思路点拨】根据对数函数的定义域，一元二次不等式的解和判别式△的关系，二次函数的最值即可求出命题p，q下的a的取值范围，根据p∨q为真，p∧q为假，即可得到p真q假和p假q真两种情况，求出每种情况下的a的取值范围，再求并集即可． 12. 在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点． （1）若向正方形内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形内的概率为         ； （2）设，向量(，)，若，则       . 参考答案： ；. （1）所求概率为扇形的面积与正方形的面积的比值，设正方形边长为，则所求概率为.故填. （2）不妨设正方形边长为，以为坐标原点，， 所在直线为轴，轴建立直角坐标系，则， ，.由，得 ，解得.由，求得，从而.故填. 【解题探究】本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题.第（1）题是几何概型问题，求解转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决；第（2）问是关于平面向量线性运算的考题，解题时可建立适当的坐标系，用向量的坐标运算来实现转化.若假设正方形边长为，则点在单位圆上，就可以考虑引入三角函数来表示点的坐标. 13. 已知变动形成的区域的面积是        。 参考答案： 14. 若的二项展开式中项的系数是，则        参考答案： 4 15. 若一条直线与一个正四棱柱各个面所成的角都为,则=______ 参考答案： 略 16. 已知直线l过点O（0，0）且与圆C：（x﹣2）2+y2=3有公共点，则直线l的斜率最大值为         ． 参考答案： 考点：直线与圆的位置关系；直线的斜率． 专题：计算题；直线与圆． 分析：设直线方程为y=kx，代入圆C：（x﹣2）2+y2=3消y并整理得（1+k2）x2﹣4x+1=0，由△≥0解不等式可得． 解答： 解：设直线l的斜率为k，则方程为y=kx， 代入圆C：（x﹣2）2+y2=3消y并整理得（1+k2）x2﹣4x+1=0， 由题意可得△=（﹣4）2﹣4（1+k2）≥0，解得﹣≤k≤， 所以直线l的斜率最大值为． 故答案为：． 点评：本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的斜率和一元二次不等式的解法，属基础题． 17. 直线与曲线相交，截得的弦长为__________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，点E是棱PB的中点． （Ⅰ）求证：AC⊥PB （Ⅱ）若PD=2，AB=，求直线AE和平面PDB所成的角． 参考答案： 考点：直线与平面所成的角；棱锥的结构特征． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（Ⅰ）判断AC⊥面PBD，再运用直线垂直直线，直线垂直平面问题证明． （II）根据题意得出AC⊥面PBD，运用直线与平面所成的角得出∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角 利用直角三角形求解即可． 解答： 证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD， ∴PD⊥AC，AC⊥BD， ∵PD∩DB=D， ∴AC⊥面PBD， ∵PB?面PBD， ∴AC⊥PB． （Ⅱ）连接EO， ∵点E是棱PB的中点，O为DB中点， ∴OE∥PD， ∵PD=2 ∴OE=1 ∵AC⊥面PBD， ∴∠AEO直线AE和平面PDB所成的角 ∵底面ABCD是正方形，AB=， ∴AC=2，AO=1， ∴Rt△AEO中∠AEO=45° 即直线AE和平面PDB所成的角45° 点评：本题考查了棱锥的几何性质，直线与平面角的概念及求解，考查学生的空间思维能力，运用平面问题解决空间问题的能力． 19. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分. （1）设椭圆：与双曲线：有相同的焦点，是椭圆与双曲线的公共点，且的周长为，求椭圆的方程； 我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”. （2）如图，已知“盾圆”的方程为.设“盾圆”上的任意一点到的距离为，到直线的距离为，求证：为定值；   （3）由抛物线弧：（）与第（1）小题椭圆弧：（）所合成的封闭曲线为“盾圆”.设过点的直线与“盾圆”交于两点，，且（），试用表示；并求的取值范围.   参考答案： 解：（1）由的周长为得， 椭圆与双曲线：有相同的焦点，所以， 即，，椭圆的方程；…………………4分 （2）证明：设“盾圆”上的任意一点的坐标为，.………5分 当时，，， 即；…………………………7分 当时，，， 即；…………………………9分 所以为定值；…………………………………………………………10分 （3）显然“盾圆”由两部分合成，所以按在抛物线弧或椭圆弧上加以分类，由“盾圆”的对称性，不妨设在轴上方（或轴上）： 当时，，此时，；……………………11分 当时，在椭圆弧上， 由题设知代入得， ， 整理得， 解得或（舍去）. …12分 当时在抛物线弧上， 由方程或定义均可得到，于是， 综上，（）或（）； 相应地，，…………………………………………14分 当时在抛物线弧上，在椭圆弧上， ；……………………15分 当时在椭圆弧上，在抛物线弧上， ；……………………16分 当时、在椭圆弧上， ；…………………………17分 综上的取值范围是.…………………………………………………18分 略 20. (本小题满分12分)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当  年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完. （Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （Ⅱ）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 参考答案： （Ⅰ）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为0.05×1000万元，依题意得： 当时， .………………………………2分 当时， =.………………………………………………4分 所以…………6分 （Ⅱ）当时， 此时，当时，取得最大值万元.  ………………8分 当时， 此时，当时，即时取得最大值1000万元.………………11分 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，