2022-2023学年福建省南平市关泽第一中学高三数学文下学期期末试题含解析

2022-2023学年福建省南平市关泽第一中学高三数学文下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 命题“”的否定为（    ） A.        B. C.          D. 参考答案： C 2. 函数的零点个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： B 【考点】根的存在性及根的个数判断． 【分析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过函数为0，转化为两个函数的图象交点个数问题． 【解答】解由已知得 =cos2x﹣log2|x|，令f（x）=0，即cos2x=log2|x|， 在同一坐标系中画出函数y=cos2x和y=log2|x|的图象， 如图所示，两函数图象有两个不同的交点， 故函数f（x）的零点个数为2， 故选B． 3. 执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是   A．870    B．30   C．6    D．3 参考答案： B  【知识点】程序框图．L1 解析：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B． 【思路点拨】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列an的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案． 4. 定义在R上的函数，当时，不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（   ） A. [1,+∞) B. [1,2] C. (1,2) D. (1,+∞) 参考答案： D 分析：由题意结合不等式的性质构造函数，结合函数的单调性将原问题转化为恒成立的问题，然后整理计算即可求得最终结果. 详解：考查函数：， 则：， 据此可得函数单调递增， ，则不等式即： ， 则：， 不等式即， 结合函数的单调性可得：恒成立， 当时，， 结合恒成立的条件可得实数的取值范围是. 本题选择D选项. 点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 5. 半圆的直径＝4, 为圆心，是半圆上不同于、的任意一点，若为半径的中点，则的值是 A. －2      B .  －1        C . 2       D.  无法确定，与点位置有关 参考答案： A 略 6. 设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限   B．第二象限   C．第三象限    D．第四象限 参考答案： B 【知识点】复数综合运算 【试题解析】因为 所以，对应的点位于第二象限 故答案为：B 7. 已知=（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 参考答案： A 8. 函数的图象向右平移动个单位，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A．         B．       C．       D． 参考答案： B 9. 定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（   ） （A）           （B）         （C）           （D） 参考答案： 10. 已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上一点，Q为双曲线渐近线C上一点，P，Q均位于第一象限，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 参考答案： C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果与该比曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为__________． 参考答案： 由题意知，，所以． 又，则，解得． 12. 若函数，则不等式的解集是               ． 参考答案： 13. 在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，C=45°，且a，2，b成等比数列，则△ABC的面积为　    　． 参考答案： 【考点】正弦定理；等比数列的性质． 【分析】先利用等比中项的性质求得ab=4，再利用三角形面积公式S=absinC计算其面积即可 【解答】解：∵a，2，b成等比数列，∴ab=4 ∴△ABC的面积S=absinC=×4×sin45°= 故答案为 14. 已知f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1时有极值0，则a﹣b的值为        ． 参考答案： ﹣7 考点：函数在某点取得极值的条件． 专题：计算题；导数的概念及应用． 分析：求导函数，利用函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0，建立方程组，求得a，b的值，再验证，即可得到结论． 解答： 解：∵函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2 ∴f'（x）=3x2+6ax+b， 又∵函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=﹣1处有极值0， ∴，∴或 当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）2=0，方程有两个相等的实数根，不满足题意； 当时，f'（x）=3x2+6ax+b=3（x+1）（x+3）=0，方程有两个不等的实数根，满足题意； ∴a﹣b=﹣7 故答案为：﹣7． 点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于基础题． 15. 若集合满足∪∪…∪,则称，，…为集合A的一种拆分。已知：  ①当∪=时，A有种拆分；             ②当∪∪=时，A有种拆分；             ③当∪∪∪=时，A有种拆分；          …… 由以上结论，推测出一般结论； 当∪∪…∪=，A有            种拆分。 参考答案： 略 16. 关于函数，有下列命题： ①其图象关于y轴对称； ②当x>0时，f(x)是增函数；当x<0时，f(x)是减函数； ③f(x)的最小值是lg2； ④f(x)在区间（－1，0）、（2,+∞）上是增函数； ⑤f(x)无最大值，也无最小值． 其中所有正确结论的序号是                        ． 参考答案： ①③④ 略 17. 若目标函数z=kx+2y在约束条件下仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是　　． 参考答案： （﹣4，2） 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出k的取值范围． 【解答】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=kx+2y得y=﹣x+， 要使目标函数z=kx+2y仅在点B（1，1）处取得最小值， 则阴影部分区域在直线z=kx+2y的右上方， ∴目标函数的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直线2x﹣y=1的斜率 即﹣1＜﹣＜2， 解得﹣4＜k＜2， 即实数k的取值范围为（﹣4，2）， 故答案为：（﹣4，2）． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数仅在点（1，1）处取得最小值，确定直线的位置是解决本题的关键． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分15分）设，其中． （1）当时，求的极值点； （2）若为R上的单调函数，求的取值范围． 参考答案： 对求导得 ① （1）当时，若，则，解得 结合①，可知 x + 0 _ 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 19. 定义在R上的函数满足. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调区间； （3）如果s，t，r满足，那么称s比t更靠近，当且时，试比较和哪个更靠近lnx，并说明理由. 参考答案： (Ⅰ)解： ∴，故f (0) = 1 又，∴ 因此 2分 (Ⅱ)解：∵ ∴ ∴ 4分 ①当a≤0时，，函数g (x)在R上单调递增； ②当a > 0时，由得： ∴时，，g (x)单调递减 时，，g (x)单调递增 综上，当a≤0时，函数g (x)的单调递增区间为； 当a > 0时，函数g (x)的单调递增区间为，单调递减区间为． 6分 (Ⅲ)解：， ∵，∴p(x)在[1，＋∞)上为减函数 又p(e) = 0，∴当1≤x≤e时，p(x)≥0，当x > e时，p(x) < 0 7分 ∵， ∴在[1，＋∞)上为增函数，又 ∴x∈[1，＋∞)时，，故q(x)在[1，＋∞)上为增函数 ∴q(x)≥q(1)＝a＋1>0 8分 ①当1≤x≤e时， 设，则 ∴h (x)在[1，＋∞)上为减函数 ∴h (x)≤m(1)＝e－1－a ∵a≥2，∴h (x) < 0，∴| p(x) | < | q(x) | ∴比更靠近ln x； 10分 ②当x > e时， 设，则， ∴在x > e时为减函数，∴ ∴r (x)在x > e时为减函数的，∴ ∴| p (x) | < | q (x) | ∴比更靠近ln x． 综上：当a≥2且x≥1时，比更靠近ln x． 12分   20. （本小题满分10分）如图， 及其外接圆，过点作圆的切线交的延长线于，的角平分线分别交于点，若.试求. 参考答案： 由，得，由～可知. 21. 已知， （Ⅰ）对一切，恒成立，求实数的取值范围； （Ⅱ）当时，求函数在 上的最值； （Ⅲ）证明：对一切，都有成立。 参考答案： 解：（Ⅰ）对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立 令 ， 则， 在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以 （Ⅱ）当 ， ，由得.       ①当时，在上，在上 因此，在处取得极小值，也是最小值. . 由于 因此，        ②当，，因此上单调递增，所以， （Ⅲ）证明：问题等价于证明,  由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得， 设，则，易知 ，当且仅当时取到， 但从而可知对一切，都有成立 略 22. 如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在市的普及情况，市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）   经常使用网络外卖 偶尔或不使用网络外卖 合计 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计 110 90 200 （Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖的情况与性别有关？ （Ⅱ）①现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用网络外卖的概率. ②将频率视为概率，从市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为，求的数学期望和方差. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828   参考答案： （1）由列联表可知的观测值，. 所以不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用网络外卖