2022年湖南省长沙市披塘中学高二数学理期末试题含解析

2022年湖南省长沙市披塘中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如图,是全集,是的3个子集,则阴影部分所表示的集合是(    ) A.                                   B. C.CIS                                D.CIS 参考答案： C 2. 如图是函数的导函数的图象,则下面判断正确的是（   ） A. 在区间(－2,1)上是增函数 B. 在(1,3)上是减函数 C. 在(4,5)上是增函数 D. 当时,取极大值 参考答案： C 根据原函数与导函数的关系，由导函数的图象可知的单调性如下：在上为减函数，在（0,2）上为增函数，在（2,4）上为减函数，在（4,5）上为增函数，在的左侧为负，右侧为正，故在处取极小值，结合选项，只有选项C正确。 3. 给出下列命题： ①若“或”是假命题，则“且”是真命题； ② ； ③若实系数关于的二次不等式，的解集为，则必有且； ④ . 其中真命题的个数是                                                                                 （　　） A．1                     B．2                     C．3                     D．4   参考答案： B 4. 一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　） A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣ 参考答案： D 【考点】圆的切线方程；直线的斜率． 【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出． 【解答】解：点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3）， 故可设反射光线所在直线的方程为：y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0． ∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切， ∴圆心（﹣3，2）到直线的距离d==1， 化为24k2+50k+24=0， ∴k=或﹣． 故选：D． 5. 在△ABC中,,,则（　　） A． B． C．          D．1 参考答案： B 略 6. 把“二进制”数化为“五进制”数是（    ） A．         B．         C．         D． 参考答案： C 7. 已知双曲线的一条渐近线是,则双曲线的离心率为(    ）. A．2             B.              C．               D. 参考答案： C 略 8. 在下列条件中，使与、、不共面的是                                     A．        B．  C．              D． 参考答案： D 9. 在△ABC中，已知3b＝2asin B，且cos B＝cos C，角A是锐角，则△ABC的形状是(　　) A．直角三角形　　　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形  D．等边三角形 参考答案： D 10. 变量满足约束条件，则目标函数的最小值（    ） A    2         B   4          C   1         D  3 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数．那么函数的最小正周期为      参考答案： 试题分析： 考点：三角函数化简及性质 12. 某中学高一年级有学生600人，高二年级有学生450人，高三年级有学生750人，每个学生被抽到的可能性均为0.2，若该校取一个容量为n的样本，则n=        ． 参考答案： 略 13. 命题“，”的否定是______． 参考答案： 全称命题否定为特称命题， 则命题“”的否定是. 14. 在长方体中，已知，为的中点，则直线与平面的距离是___________． 参考答案： 9 略 15. 若复数(1＋bi)(2＋i)是纯虚数(i是虚数单位，b是实数)，则b等于      ． 参考答案： 2 16. 已知复数，则的最小值 是________。   参考答案： 略 17. 请.从下面具体的例子中说明几个基本的程序框和它们各自表示的功能，并把它填在相应的括号内. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （12分）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+an=2n+1， （1）写出a1，a2，a3并猜想an的表达式； （2）用数学归纳法证明（1）中的猜想． 参考答案： 【考点】数学归纳法；归纳推理． 【分析】（1）利用Sn+an=2n+1，代入计算，可得结论，猜想an=2﹣（n∈N*）． （2）用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立． 【解答】解：（1）由Sn+an=2n+1得a1=，a2=，a3=， 故猜想an==2﹣（n∈N*）． （2）证明①当n=1时a1=，结论成立， ②假设当n=k时结论成立，即ak=2﹣， 则当n=k+1时，ak+1=Sk+1﹣Sk=2（k+1）+1﹣ak+1﹣（2k+1﹣a（2k+1﹣ak）） ∴2ak+1=ak+2=4﹣，∴ak+1=2﹣，即当n=k+1时结论成立． 由①②知对于任何正整数n，结论成立． 【点评】此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而得证，这是数列的通项一种常用求解的方法 19. 某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答题连续两次答错的概率为（已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）. （Ⅰ）求选手甲回答一个问题的正确率； （Ⅱ）求选手甲可以进入决赛的概率. 参考答案： （1）(Ⅰ)设选手甲答对一个问题的正确率为， 则故选手甲回答一个问题的正确率    （Ⅱ）选手甲答了4道题进入决赛的概率为；   （III）选手甲答了5道题进入决赛的概率为；  选手甲答了6道题进入决赛的概率为；    故选手甲可进入决赛的概率. 略 20. (本小题满分12分) 在中，分别是的对边长，已知. (Ⅰ)若,求实数的值； (Ⅱ)若,求面积的最大值. 参考答案： 解：(Ⅰ) 由得：··············· 2分 解得: ······························································································· 3分 而可以变形为········································· 4分 即 ，所以········································································· 6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ,则··················· 7分 又························· 8分 所以即················ 10分 故    12分 略 21. 已知直线l过定点与圆C：相交于A、B两点． 求：（1）若|AB|=8，求直线l的方程； （2）若点为弦AB的中点，求弦AB的方程． 参考答案： 【考点】QH：参数方程化成普通方程；J9：直线与圆的位置关系． 【分析】（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，把圆C的方程化为普通方程，利用弦长|AB|=2（d为圆心到直线l的距离）即可求出； （2）利用OP⊥AB的关系求出直线AB的斜率，进而求出方程． 【解答】解：（1）①当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则， 由圆C：消去参数θ化为x2+y2=25，圆心C （0，0），半径r=5． ∴圆心C （0，0）到直线l的距离d=， ∵|AB|=8，∴8=2，化为， ∴直线l的方程为，即3x+4y+15=0； ②当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣3，满足|AB|=8，适合题意． （2）∵kOP==，AB⊥OP，∴kAB=﹣2． ∴直线AB的方程为，化为4x+2y+15=0 联立，解得． ∴弦AB的方程为4x+2y+15=0． 22. 在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若B是A，C的等差中项，是的等比中项，求证：△ABC为等边三角形； （2）若△ABC为锐角三角形，求证：． 参考答案： （1）见解析（2）见解析 【分析】 （1）由是的等差中项可得，由是的等比中项，结合正弦定理与余弦定理即可得到，由此证明为等边三角形； （2）解法1：利用分析法，结合锐角三角形性质即可证明； 解法2：由为锐角三角形以及三角形的内角和为，可得，利用公式展开，进行化简即可得到。 【详解】（1）由成等差数列，有   ①   因为为的内角，所以  ② 由①②得       ③                           由是的等比中项和正弦定理得， 是的等比中项， 所以   ④         由余弦定理及③，可得  再由④，得即，因此  从而                              ⑤ 由②③⑤，得 所以为等边三角形．        （2）解法1： 要证 只需证          因为、、都为锐角，所以， 故只需证： 只需证：   即证：            因为，所以要证： 即证：    即证：    因为为锐角，显然 故原命题得证，即．      解法2：因为为锐角，所以 因为    所以， 即 展开得： 所以 因为、、都为锐角，所以， 所以            即 【点睛】本题考查正余弦定理、等差等比的性质，锐角三角形的性质，熟练掌握定理是解决本题的关键。