2023年上海市浦南中学高二数学理联考试卷含解析

2023年上海市浦南中学高二数学理联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列曲线中离心率为的是(    ) A.          B.          C.           D. 参考答案： B 2. 在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x+y﹣4=0相切，则圆C面积的最小值为(     ) A．π B．π C．（6﹣2）π D．π 参考答案： A 【考点】直线与圆的位置关系． 【专题】直线与圆． 【分析】如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r，由已知得|OC|=|CE|=r，过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF，交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F，则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小． 【解答】解：如图，设AB的中点为C，坐标原点为O，圆半径为r， 由已知得|OC|=|CE|=r， 过点O作直线2x+y﹣4=0的垂直线段OF， 交AB于D，交直线2x+y﹣4=0于F， 则当D恰为AB中点时，圆C的半径最小，即面积最小 此时圆的直径为O（0，0）到直线2x+y﹣4=0的距离为： d==， 此时r= ∴圆C的面积的最小值为：Smin=π×（）2=． 故选：A． 【点评】本题主要考查了直线与圆的位置关系，考查圆的面积的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 3. 等比数列中，,,,则(      )    A.6             B.7               C. 8            D.9 参考答案： A 略 4. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线B1M与CN所成的角为（     ） A.0° B. 45° C. 60° D. 90° 参考答案： D 试题分析:取的中点,连接.易知,所以四边形是平行四边形，则,所以所成的角是异面直线B1M与CN所成的角或其补角；,, 即,所以异面直线B1M与CN所成的角是.   5. 以下与函数y=x属于同一函数的是（    ） A、y=         B、y=                C、y=                 D、y=   参考答案： B 略 6. 掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量=（m，n）与向量=（1，﹣1）的夹角为θ，则θ∈（0，]的概率是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】几何概型． 【分析】由已知掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记为（m，n），共有36种可能，而由数量积则θ∈（0，]的，n范围是m﹣n≥0并且m+n≠0，由几何概型公式得到所求． 【解答】解：解：连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记（m，n）有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6） （2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6） （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6） （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6） （5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6） （6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36个基本事件 若θ∈（0，]，则m≥n，则满足条件的（m，n）有： （1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3） （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1），（5，2） （5，3），（5，4），（5，5），（6，1），（6，2），（6，3） （6，4），（6，5），（6，6），共21个基本事件 则P=； 故选C． 【点评】本题主要考查古典概型概率求法，用到了用两个向量的数量积表示两个向量的夹角；解答本题的关键是明确概率模型，分别求出所有事件以及满足条件的事件个数，利用公式解答． 7. 执行如下图所示的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p是 A．8            B．5          C．3         D．2 参考答案： C 8. 函数的最大值是（    ） A．         B．          C．         D． 参考答案： C 略 9. 已知双曲线的方程为，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为   A. B. C. D. 参考答案： B 略 10. 如右下图，是一个空间几何体的三视图，则这个几何体的外接球的表面积是（     ） （A）      （B） （C）   （D） 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 将标号分别为1、2、3、4、5五个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里，每个盒子里只放1个小球．则1号球不在红盒内且2号球不在黄盒内的概率是        ． 参考答案： 略 12. 已知x1，x2是关于x的方程x2－ax＋a2－a＋＝0的两个实根，那么的最小值为_______，最大值为________． 参考答案： 0, 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围为        ． 参考答案： 略 14. 若复数是实数，则实数        ． 参考答案： 1 略 15. 已知非零向量a∥b，若非零向量c∥a，则c与b必定________． 参考答案： 平行(或共线) 16. 直线 与椭圆总有公共点，则       。 参考答案：    略 17. 已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，那么a1+a2+…+a7=　　． 参考答案： ﹣2 【考点】二项式定理的应用． 【专题】计算题． 【分析】本题由于是求二项式展开式的系数之和，故可以令二项式中的x=1，又由于所求之和不含a0，令x=0，可求出a0的值，代入即求答案． 【解答】解：令x=1代入二项式（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7得，（1﹣2）7=a0+a1+…+a7=﹣1， 令x=0得a0=1∴1+a1+a2+…+a7=﹣1 ∴a1+a2+…+a7=﹣2 故答案为：﹣2 【点评】本题主要考查二项式定理的应用，一般再求解有二项式关系数的和等问题时通常会将二项式展开式中的未知数x赋值为1或0或者是﹣1进行求解．本题属于基础题型． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 等差数列的前项和记为，已知 (1)求通项；     （2）若求。 参考答案： 1）    ，即 （2） 解得 略 19. （本小题满分12分） 在锐角△ABC中，分别为∠A、∠B、∠C所对的边，且 (1)确定∠C的大小； (2)若c＝，求△ABC周长的取值范围． 参考答案： （1）已知a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边，由a＝2csinA， 得sinA＝2sinCsinA，又sinA≠0，则sinC=，∴∠C=60°或∠C=120°, ∵△ABC为锐角三角形，∴∠C=120°舍去。∴∠C=60°…………………4分 （2）∵c=，sinC= ∴由正弦定理得：,………………5分 即a=2sinA，b=2sinB，又A+B=π-C=，即B=-A， ∴a+b+c=2（sinA+sinB）+ =2[sinA+sin（-A）]+ =2（sinA+sincosA-cossinA）+ =3sinA+cosA+ =2（sinAcos+cosAsin）+ =2sin（A+）+，……………………8分 ∵△ABC是锐角三角形， ∴＜∠A＜，……………………….10分 ∴＜sin（A+）≤1， 则△ABC周长的取值范围是（3+，3]．…………………12分 20. 已知△ABC的两顶点坐标A（﹣1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M． （I）求曲线M的方程； （Ⅱ）设直线BC与曲线M的另一交点为D，当点A在以线段CD为直径的圆上时，求直线BC的方程． 参考答案： 【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（I）由题意，可得曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点），从而可得求曲线M的方程； （Ⅱ）设与直线BC的方程，与椭圆方程联立，消x，利用韦达定理，结合=0，即可求直线BC的方程． 【解答】解：（I）由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4＞|AB|， 所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点）， 所以a=2，c=1， 所以b=， 所以曲线M：（y≠0）为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （Ⅱ）注意到直线BC的斜率不为0，且过定点B（1，0）， 设直线BC的方程为x=my+1，C（x1，y1），D（x2，y2）， 与椭圆方程联立，消x得（4+3m2）y2+6my﹣9=0， 所以y1+y2=﹣，y1y2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为=（my1+2，y1），=（my2+2，y2）， 所以=（my1+2）（my2+2）+y1y2= 注意到点A在以CD为直径的圆上，所以=0，即m=±，﹣﹣﹣﹣﹣ 所以直线BC的方程或为所求．﹣﹣ 21. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求的解析式； （Ⅲ）若，求区间． 参考答案： 解：（Ⅰ）∵是奇函数， ∴   ------------------------3分 （Ⅱ）设，则，∴ ∵为奇函数，∴    -------------------------5分 ∴                    -----------------------------6分 （Ⅲ）根据函数图象可得在上单调递增        ------------------------------7分 当时，解得   ------------------------------9分 当时，解得         ----------------------------11分 ∴区间为．                         ----------------------------12分     略 22. 某学校研究性学习小组对该校高二学生视力情况进行调查,在高二的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表.学习小组成员发现,学习成绩突出的学生,近视的比较多,为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系,对年级名次在名和名的学生进行了调查,得到如下数据: (1)根据表中的数据,能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系? 附:． (2)在(1)中调查的100名学生中,按照分层抽样的不近视的学生中抽取了9人,进一步调查他们良好的护眼习惯,并且在这9人中任取3人,记名次在的学生人数为,求的分布列和数学期望． 参考答案： (1), 因此能够在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系. (2)依题意抽取的9人中年级名次在名和名的分别有3人和6人, 可能的取值为0,1,2,3, ,, , 的分布列为: