2022年湖北省黄石市德才中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2022年湖北省黄石市德才中学高二数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知的平面直观图是边长为的正三角形，那么原的面积为（   ） A.        B.        C.        D. 参考答案： C 2. 不等式的解集是（　　） A．（﹣3，﹣2）（0，+∞） B．（﹣∞，﹣3）（﹣2，0） C．（﹣3，0） 　　　　　　D．（﹣∞，﹣3）（0，+∞） 参考答案： A 【考点】其他不等式的解法． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】原不等式等价于 ＞0． 把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集． 【解答】解：不等式等价于  ＞0．如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为 （﹣3，﹣2）∪（0，+∞）， 故选A． 【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题． 3. 已知函数的最小正周期为6π，且其图象向右平移个单位后得到函数的图象，则（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 利用函数的周期求出的值，利用逆向变换将函数的图象向左平行个单位长度，得出函数的图象，根据平移规律得出的值. 【详解】由于函数的周期为，，则， 利用逆向变换，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，所以，因此，，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 4. 已知函数f（x）=x2+a（b+1）x+a+b（a，b∈R），则“a=0”是“f（x）为偶函数”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】函数思想；转化法；简易逻辑． 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合函数奇偶性的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：若a=0，则f（x）=x2+b为偶函数， 当b=﹣1，a≠0时，f（x）=x2+a﹣1为偶函数，但a=0不成立， 即“a=0”是“f（x）为偶函数”的充分不必要条件， 故选：A 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数奇偶性的性质和定义是解决本题的关键． 5. 函数的单调递减区间是 A．   B．   C．   D． 参考答案： A 试题分析：函数定义域为，由得，所以减区间为 考点：函数导数与单调性 6. 方程不可能表示的曲线为: A.圆       B.椭圆          C.双曲线           D.抛物线 参考答案： D 略 7. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为 （   ）       A．(x-1)3+3(x-1)    B．2(x-1)2    C．2(x-1)    D．x-1 参考答案： A 略 8. 若定义在R上的函数满足，且当时，，则满足的a的取值范围是（    ） A. (2,+∞) B. C. (3,+∞) D. 参考答案： D 【分析】 根据可知函数关于直线对称；利用导数可判断出函数在上单调递增；利用对称性知函数在上单调递减；利用函数值的大小关系可得与自变量有关的不等式，解不等式求得结果. 【详解】    关于直线对称 当时，，则 在上单调递增 由对称性可知：函数在上单调递减 若，则： 解得：，即 本题正确选项： 【点睛】本题考查函数单调性、对称性的综合应用问题，关键是能够根据函数的性质将函数值之间的比较转变为函数自变量的关系，从而得到与参数有关的不等式. 9. 设f(x)为可导函数，且满足条件，则曲线在点 处的切线的斜率为(  ) A.             B．3          C．6              D．无法确定 参考答案： C 略 10. 已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率为            （ ） A．              B．             C．               D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若正数，满足，则的最小值为____ _____. 参考答案： 3 12. 已知等差数列的前n项和能取到最大值，且满足：对于以下几个结论： ①　数列是递减数列；    ②  数列是递减数列；　 ③  数列的最大项是； ④  数列的最小的正数是． 其中正确的结论的个数是___________ 参考答案： ①③④ 13. 如果双曲线上一点P到它的右焦点的距离是8，那么P到它的左准线的距离是 ▲. 参考答案： 14. 已知定义在R上的函数的导函数的图象如图所示，则函数f(x)的单调减区间是__________． 参考答案： ， 【分析】 根据导数符号与原函数单调性之间的关系结合导函数的图象可得出函数的单调递减区间. 【详解】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可知，函数的单调递减区间为和. 故答案为：，. 【点睛】本题考查利用导函数的图象求原函数的单调区间，要结合导函数符号与原函数单调性之间的关系来解答，属于基础题. 15. 已知数列的，则=_____________ . 参考答案： 100 略 16. 某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表： 学生 1号 2号 3号 4号 5号 甲班 6 7 7 8 7 乙班 6 7 6 7 9 则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=　　． 参考答案： 0.4 【考点】极差、方差与标准差． 【分析】根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果． 【解答】解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7， 这组数据的平均数是7， 甲班投中次数的方差是， 乙班的投中次数是6，7，6，7，9， 这组数据的平均数是7， 这组数据的方差是 ∴两组数据的方差中较小的一个为0.4， 故答案为：0.4 17. 已知定义在R上的可导函数f（x）满足，若，则实数m的取值范围是______． 参考答案： 【详解】试题分析：令,则,故函数在上单调递减,又由题设可得,故,即,答案为． 考点：导数及运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知圆C1：x2+y2﹣2ax+4y+a2﹣5=0和圆C2：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 （1）当两圆外离时，求实数a的取值范围 （2）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C2的切线，A，B是切点，求四边形PAC2B面积的最小值． 参考答案： 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】（1）当两圆外离时，则＞4，即可求实数a的取值范围 （2）要使四边形PAC2B面积达到最小，则圆心与点P的距离达到最小，即为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB达到最小． 【解答】解：（1）已知圆心C1（a，﹣2），半径r1=3，圆心C2（1，1），半径r2=1﹣﹣﹣﹣﹣ 因为两圆外离，则＞4﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 解得a或a﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）要使四边形PAC2B面积达到最小，则圆心与点P的距离达到最小， 即为圆心到直线的距离时，切线长PA，PB达到最小．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为圆心到直线的距离为3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 则|PA|=|PB|==2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 则四边形PAC2B面积的最小值=2×=2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 19. 20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下： (1)求频率直方图中a的值； (2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数； (3)从成绩在[50,70)的学生中人选2人，求这2人的成绩都在[60,70)中的概率． 参考答案： (1)0.005,(2)2,3,(3)0.3 [解析]　(1)由频率分布直方图知组距为10，频率总和为1，可列如下等式：(2a＋2a＋3a＋6a＋7a)×10＝1 解得a＝0. 005． (2)由图可知落在[50,60)的频率为2a×10＝0. 1 由频数＝总数×频率，从而得到该范围内的人数为20×0. 1＝2． 同理落在[60,70)内的人数为20×0. 15＝3． (3)记[50,60)范围内的2人分别记为A1、A2，[60,70)范围内的3人记为B1、B2、B3，从5人选2人共有情况： A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3,10种情况，其中2人成绩都在[60,70)范围内的有3种情况，因此P＝． 试题分析：（1）由频率分布直方图的意义可知，图中五个小长方形的面积之和为1，由此列方程即可求得. （2）根据（1）的结果，分别求出成绩落在与的频率值，分别乘以学生总数即得相应的频数； （3）由（2）知，成绩落在中有2人，用表示，成绩落在中的有3人，分别用、、表示，从五人中任取两人，写出所有10种可能的结果，可用古典概型求此2人的成绩都在中的概率. 解：（1）据直方图知组距=10，由 ，解得 （2）成绩落在中的学生人数为 成绩落在中的学生人数为 （3）记成绩落在中的2人为，成绩落在中的3人为、、，则从成绩在的学生中人选2人的基本事件共有10个： 其中2人成绩都在中的基本事伯有3个： 故所求概率为 20. 已知内接于圆：+=1（为坐标原点）， 且3+4+5=。 (I）求的面积； (Ⅱ）若，设以射线Ox为始边，射线OC为终边所形成的角为， 判断的取值范围。 (Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求点的坐标。 参考答案： （1）由3+4+5= 0得3+5= ， 平方化简，得·=，所以=， 而所以=。    的面积是==。 (2）由（1）可知=，得为钝角，      又或=，      所以或， (3）由题意，C点的坐标为，进而， 又，可得 ，于是有 当时，， 所以 从而。   当时，， 所以 从而。   综上，点的坐标为或。  21. 如图，四面体中，、分别是、的中点，平面， ．     （1）求证：面面； （2）求异面直线与所成角的大小． 参考答案： （1）略 （2）连OE，则,所以即为 异面直线与所成角。 在中，因为OE=1，AO=1， 所以       所以异面直线与所成角为. 略 22. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点． （1）求证：DE⊥平面PCB； （2）求点C到平面DEB的距离； （3）求二面角E﹣BD﹣P的余弦值． 参考答案： 【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算． 【分析】（1）由已知条件推导出PD⊥BC，CD⊥BC，由此得到BC⊥平面PCD，从而能够证明DE⊥平面PCB． （2）过点C作CM⊥BE于点M，平面DEB⊥平面PCB，从而得到线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离，由此能求出结果． （3）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣BD﹣P的余弦值． 【解答】（1）证明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，