2023年湖南省湘潭市湘乡东郊中学高一数学理月考试卷含解析

2023年湖南省湘潭市湘乡东郊中学高一数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知集合M={0，2}，则M的真子集的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 参考答案： C 【考点】子集与真子集． 【分析】若集合A有n个元素，则集合A有2n﹣1个真子集． 【解答】解：∵集合M={0，2}， ∴M的真子集的个数为：22﹣1=3． 故选：C． 2. 函数y=sinx图象的对称轴方程可能是(     ) A．x=﹣π B．x= C．x=π D．x= 参考答案： D 考点：正弦函数的图象． 专题：三角函数的图像与性质． 分析：由条件利用正弦函数的图象的对称性逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 解答： 解：由于当x=±π时，函数的值等于零，不是最值，故函数的图象不关于x=±π对称，故排除A、C； 当x=时，y=，不是最值，故函数的图象不关于x=对称；故排除B； 由于当x=时，函数y取得最小值为﹣1，故函数y=sinx图象关于直线x=对称， 故选：D． 点评：本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题． 3. 若函数的图象（部分）如图所示，则的取值是 A．         B．  C．       D． 参考答案： C 4. 如图是某青年歌手大奖赛是七位评委为甲、乙两名选手打分的茎叶图（其中m是数字0～9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分之后，甲、乙两名选手的方差分别是a1和a2，则（　　） 　 A． a1＞a2 B． a1＜a2 　 C． a1=a2 D． a1，a2的大小与m的值有关 参考答案： B 5. 在△ABC中，若cosAcosB＞sinAsinB，则此三角形一定是（　　） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．形状不确定 参考答案： A 【考点】三角形的形状判断． 【分析】先将条件等价于cos（A+B）＞0，从而可知C为钝角，故可判断． 【解答】解：由题意，∵cosAcosB＞sinAsinB ∴cos（A+B）＞0 ∴cosC＜0 ∴C为钝角 故选A． 6. 某学校要召开学生代表大会，规定各班每人推选一名代表，当各班人数除以的余数大于时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数（表示不大于的最大整数）可以表示为（    ） A． B． C． D． 参考答案： B 7. 已知函数f（x）=，则f=（　　） A．cos B．﹣cos C． D．± 参考答案： C 【考点】3T：函数的值． 【分析】由已知得f（﹣）=cos（﹣）=cos=，从而f=f（），由此能求出结果． 【解答】解：∵函数f（x）=， ∴f（﹣）=cos（﹣）=cos=， f=f（）==． 故选：C． 8. （3分）函数图象的一条对称轴方程是（） A． B． x=0 C． D． 参考答案： C 考点： 正弦函数的对称性． 专题： 计算题． 分析： 直接利用正弦函数的对称轴方程，求出函数 的图象的一条对称轴的方程，即可． 解答： y=sinx的对称轴方程为x=kπ ， 所以函数 的图象的对称轴的方程是 解得x=，k∈Z，k=0时 显然C正确， 故选C 点评： 本题是基础题，考查三角函数的对称性，对称轴方程的求法，考查计算能力，推理能力． 9. 设是两个单位向量，则下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】95：单位向量． 【分析】由是两个单位向量，可得，即可得出． 【解答】解：∵是两个单位向量，∴， 故选：D． 10. 设向量，不共线，，，，若，，三点共线，则实数的值为（）． A．－1或2 B．－2或3 C．2或－3 D．1或－2 参考答案： C ∵，，， ∴， ， ∵，，三点共线， ∴与共线， ∴，化简得，即， ∴或． 故选． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若函数f（x）=sinωx （ω＞0）在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω=　     　． 参考答案： 【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【分析】由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，求出ω的值即可． 【解答】解：由题意可知函数在x=时确定最大值，就是，k∈Z，所以ω=6k+；只有k=0时，ω=满足题意． 故答案为：． 【点评】本题是基础题，考查三角函数的性质，函数解析式的求法，也可以利用函数的奇偶性解答，常考题型． 12. 设函数f（x）=，则f（﹣2）=　　．若f（a）=1，则实数a=　　． 参考答案： 4;2或0. 【考点】函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先根据函数f（x）的解析式，求出f（﹣2）的值，再讨论a的值，求出f（a）=1时，实数a的值． 【解答】解：∵设函数f（x）=， ∴f（﹣2）==22=4； 又∵f（a）=1， ∴当a≤0时， =1，解得a=0，满足题意； 当a＞0时，log2a=1，解得a=2，满足题意； 综上，实数a的值为2或0． 故答案为：4；2或0． 【点评】本题考查了利用函数的解析式求函数值的应用问题，也考查了由函数值求自变量的应用问题，是基础题目． 13. 函数y=的最大值是_______. 参考答案： 4 14. （3分）化简：=   ． 参考答案： ﹣1 考点： 三角函数的化简求值． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 先分子去根号后即可化简求值． 解答： ∵== ∵sin40°＜cos40°， ∴原式==﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 本题主要考察了三角函数的化简求值，属于基础题． 15. 如图在△ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若O为△ABC的外心，则=　  　， =　　． 参考答案： 2，﹣． 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】设外接圆半径为R，则═，故可求；根据，将向量的数量积转化为： =，故可求． 【解答】解：设外接圆半径为R，则═==2 同理═= 所以= 故答案为：2，﹣． 16. 已知，则             . 参考答案： 由条件得， 又， ∴． 答案：   17. 已知tanα=2，则=　   　． 参考答案： 1 【考点】同角三角函数基本关系的运用． 【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 【解答】解：∵tanα=2，则====1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题． 　 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数 （1）求的解析式 （2）已知，求函数在的最大值和最小值 （3）函数的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由。 参考答案： （1）因为函数是偶函数 所以二次函数的对称轴方程为，即 所以......................1分 又因为二次函数的图像经过点 所以，解得......................2分 因此，函数的解析式为......................3分 （2）由（1）知，......................4分 所以，当时，......................5分 当， 当， 当，......................8分 （3）如果函数的图像上存在点符合要求其中 则，从而 即......................10分 注意到43是质数，且， 所以有，解得......................11分 因此，函数的图像上存在符合要求的点，它的坐标为.........12分 19. 已知tanα=2，求下列各式的值： （1）；        （2）3sin2α+3sinαcosα﹣2cos2α． 参考答案： 【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用． 【分析】（1）原式分子分母除以cosα，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值； （2）原式分母看做“1”，利用同角三角函数间基本关系化简，将tanα的值代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵tanα=2， ∴原式===； （2）∵tanα=2， ∴原式===． 20. 据调查，某地区100万从事传统农业的农民，年人均收入3000元，为了增加农民的收入，当地政府积极引进资本，建立各种加工企业，对当地的农产品进行深加工，同时吸收当地部分农民进入加工企业工作，据统计，如果有（>0）万人进入企业工作，那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高,而进入企业工作的农民的年人均收入为3000元（>0）. (1)在建立加工企业后，要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农民的年总收入，试求的取值范围； （2）在（1）的条件下，当地政府应该如何引导农民（即多大时），能使这100万农民的人均年收入达到最大. 参考答案： 解：（1）由题意得，即， 解得 ……………….3分 又…………….4分   www.k@s@5@                            高#考#资#源#网 (2)设这100万农民的人均年收入为元，则   …………  7分 …….9分 ..11 故当时，安排万人进入企业工作，当时安排50万人进入企业工作，才能使这100万人的人均年收入最大………12分. 略 21. （14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点． （1）求证：BC1∥平面A1CD； （2）求证：A1C⊥AB1； （3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积． 参考答案： 考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定． 专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角． 分析： （1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD． （2）利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1，即可证明A1C⊥AB1； （3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB1的中点，确定DE⊥A1D，再求三棱锥C﹣A1DE的体积． 解答： （1）证明：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点， 又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF， 因为DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD， 所以BC1∥平面A1CD．…（3分） （2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中， 因为AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分） 因为CA⊥CB，B1C1∥BC， 所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分） 因为B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1 所以A1C⊥AB1…（8分） （3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD， 因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB1A1． 所以CD⊥DE，CD⊥DB， 所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角． 在Rt△DEB中，． 由AA1=AC=CB=2，CA⊥CB， 所以，． 所以，得BE=1．所以点E为BB1的