河南省漯河市灵宝第四高级中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

河南省漯河市灵宝第四高级中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若函数为偶函数，且满足，当时， ，则 A.     B.        C.       D. 参考答案： C 略 2. 定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（　　） A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（0，+∞） D．（3，+∞） 参考答案： A 【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算． 【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解 【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R）， 则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]， ∵f（x）+f′（x）＞1， ∴f（x）+f′（x）﹣1＞0， ∴g′（x）＞0， ∴y=g（x）在定义域上单调递增， ∵exf（x）＞ex+3， ∴g（x）＞3， 又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3， ∴g（x）＞g（0）， ∴x＞0 故选：A． 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键． 3. 在△ABC中，如果，那么cosC等于（     ）                                    参考答案： D 4. 如果命题“”为假命题，则 （   ）   A． p,q均为假命题              B． p,q均为真命题   C．p,q中至少有一个为真命题     D．p,q中至多有一个为真命题 参考答案： C 5. 已知抛物线上有三点A，B，C，AB，BC，CA的斜率分别为3,6，－2，则A，B，C三点的横坐标之和为（    ） A. B. C. D. 参考答案： A 【分析】 设，，，利用两点连线斜率公式可求出纵坐标之间关系为：，进而可求得三点的纵坐标，代入抛物线方程即可求得结果. 【详解】设，， 则，可得：； 同理可得： 三式相加得： 故与前三式联立得：，， ，， 本题正确选项： 【点睛】本题考查两点连线斜率公式的应用、抛物线方程的简单应用问题，关键是能够通过斜率公式建立起抛物线上点的纵坐标之间的关系. 6. 如果为偶函数，且导数存在，则的值为   （   ） A、2        B、1      C、0      D、－1 参考答案： C  7. 为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表： 收入x（万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程，其中，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（ ） A．11.4万元  B．11.8万元   C．12.0万元    D．12.2万元 参考答案： B 试题分析：由题，，所以． 试题解析：由已知， 又因为， 所以，即该家庭支出为万元． 考点：线性回归与变量间的关系． 8. 在△ABC中，，则BC边上的高为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】解三角形． 【分析】在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB． 【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得， AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB， 把已知AC=，BC=2，B=60°代入可得， 7=AB2+4﹣4AB×， 整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0， ∴AB=3． 作AD⊥BC垂足为D， Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=， 即BC边上的高为． 故选C． 9. 双曲线﹣=1的焦距的最小值为（　　） A． B．2 C．5 D．10 参考答案： B 【考点】双曲线的标准方程． 【分析】由题意，2c=2，即可求出双曲线﹣=1的焦距的最小值． 【解答】解：由题意，2c=2， ∴双曲线﹣=1的焦距的最小值为2， 故选B． 　 10. 等比数列中，，则（   ） A．        B．        C．         D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为                  . 参考答案： 略 12. 点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个命题： ①三棱锥的体积不变；②∥平面； ③；④平面平面.其中正确的命题序号是             . 参考答案： （1）（2）（4 13. 若两平行直线3x–2y–1=0和6x+ay+c=0之间的距离是，则的值为               . 参考答案： ±1 14. 设x，y满足的约束条件，则z=x2+y2的最小值为        ． 参考答案： 1 【考点】简单线性规划． 【专题】作图题；转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用． 【分析】由约束条件作出可行域，由z=x2+y2的几何意义，即原点O（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离求得答案． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图， 由图可知，z=x2+y2的最小值为原点O（0，0）到直线3x+4y﹣5=0的距离， 等于． 故答案为：1． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 15. 设双曲线的离心率、实轴长、虚轴长、焦距依次成等差数列，则此双曲线的方程是_______。 参考答案： 16 x 2 – 9 y 2 = 25或16 y 2 – 9 x 2 = 25； 16. 已知函数f(x)及其导数，若存在，使得，则称是f(x) 的一个“巧值点”，下列函数中，有“巧值点”的函数是________.（写出所有正确的序号） ①，②，③，④，⑤ 参考答案： ①③⑤ 17. 已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是__________． 参考答案： ∵双曲线的焦点在轴，且一条渐近线方程为， ∴，∴． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分16分） 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点F是棱BC的中点，点E在棱C1D1上，且（为实数）． （1）求二面角的余弦值； （2）当时，求直线EF与平面所成角的正弦值的大小； （3）求证：直线EF与直线EA不可能垂直． 参考答案： 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系． 则，....................2分 设平面的法向量为， 则．即．令，则． ∴平面的一个法向量．又平面的一个法向量为．．....4分 故，即二面角的余弦值为................5分 （2）当λ =时，E（0，1，2），F（1，4，0），． 所以．.................................8分 因为 ，所以为锐角， 从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小为．....................10分     (3)假设，则．．....................12分   ∵， ∴，．．....................14分                 ∴．化简得． 该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂直．．.............16分     19. （本小题满分12分）如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，. (Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦值； (Ⅱ)在线段上是否存在点？使得二面角的大小为60°，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 参考答案： 如图，以中点为原点建立空间直角坐标系， 可得. （Ⅰ）所以，平面的一个法向量 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为.……… 6分 （Ⅱ）假设存在满足条件的点，设AD=， 则，设平面的法向量， 因为,， 且 所以    所以平面的一个法向量 又因为平面的一个法向量 所以 解得，因为，此时, 所以存在点，使得二面角B1—DC—C1的大小为60°. …………………… 12分 20. （16分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，E为棱AB上的一动点． （1）若E为棱AB的中点， ①求四棱锥B1﹣BCDE的体积   ②求证：面B1DC⊥面B1DE （2）若BC1∥面B1DE，求证：E为棱AB的中点． 参考答案： 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定． 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离． 【分析】（1）①四棱锥B1﹣BCDE的底面为直角梯形BEDC，棱锥的高为B1B，代入体积公式即可； ②面B1DC∩面B1DE=B1D，故只需在平面B1DE找到垂直于交线B1D的直线即可，由DE=B1E=a可易知所找直线为等腰△EB1D底边中线； （2）辅助线同上，由中位线定理可得OF∥DC，且OF=DC，从而得出OF∥EB，由BC1∥面B1DE可得EO∥B1C，故四边形OEBF是平行四边形，得出结论． 【解答】证明：（1）①∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1∴B1B平面BEDC， ∴V=?S梯形BCDE?B1B=?（a+）?a?a=． ②取B1D的中点O，设BC1∩B1C=F，连接OF， ∵O，F分别是B1D与B1C的中点，∴OF∥DC，且OF=DC， 又∵E为AB中点，∴EB∥DC，且EB=DC， ∴OF∥EB，OF=EB，即四边形OEBF是平行四边形， ∴OE∥BF， ∵DC⊥平面BCC1B1，BC1?平面BCC1B1， ∴BC1⊥DC，∴OE⊥DC． 又BC1⊥B1C，∴OE⊥B1C， 又∵DC?平面B1DC，B1C?平面B1DC，DC∩B1C=C， ∴OE⊥平面B1DC， 又∵OE?平面B1DE， ∴平面B1DC⊥面B1DE． （2）同上可证得，OF∥DC，且OF=DC， 又∵EB∥DC，∴OF∥EB， ∴E，B，F，O四点共面． ∵BC1∥平面B1DE，B1C?平面EBFO，平面EBFO∩平面B1DE=OE， ∴EO∥B1C， ∴四边形OEBF是平行四边形，∴OF=EB=DC∴EB=AB， ∴E为棱AB的中点． 【点评】本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定和几何体体积，根据判定定理作出辅助线是解题的关键． 21. （12分） 实数m取什么值时，复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)是 （1）       实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）表示复数z的点在第二象限？ 参考答案： 22. （本小题满分13分）    某中学的高二（1)班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建     了一个4人课外兴趣小组． （1）求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数； （II）若这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同             学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概