成都市高2020级第一次诊断测试 数学理科满分: 150分 时间：120分钟一、单项选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 设集合 A={x∣−10,b>0)与圆x2+y2=2c2(c为双曲线的半焦距) 的四个交点恰为一个正方形的四个顶点,则双曲线的离心率为_________16. 已知函数 f(x)=sin2x−sinx+k,x∈[0,π]. 有下列结论:①若函数 f(x)有零点,则k的取值范围是−∞,14;②函数 f(x)的零点个数可能为0,2,3,4;③ 若函数 f(x)有四个零点x1,x2,x3,x4, 则k∈0,14, 且x1+x2+x3+x4=2π;④若函数 f(x)有四个零点x1,x2,x3,x4x1b>0)的左, 右焦点分别为F1,F2, 上顶点为D', 且△DF1F2为等边三角形. 经过焦点F2的直线l与椭圆C相交于A,B两点,△F1AB的周长为 8 .(I) 求椭圆 C的方程;(II) 试探究: 在 x轴上是否存在定点T, 使得TA∙TB为定值? 若存在, 求出点T的坐标; 若不存在,请说明理由.21. （本题满分12分）已知函数 f(x)=ln(ax),a>0.(I) 当 a=1时, 若曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b, 证明:f(x)⩽kx+b;(II) 若 f(x)⩽(x−1)ex−a, 求a的取值范围.选做题（22题，23题选做1道小题，多做做错按第1题计分）22. （本题满分10分）在直角坐标系 xOy中, 圆心为A的圆C1的参数方程为x=2+cost,y=sint(t为参数). 以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ=2−2cosθ.(I) 求圆 C1的极坐标方程;(II) 设点 B在曲线C2上,且满足|AB|=3, 求点B的极径.23. （本题满分10分）已知 a,b为非负实数, 函数f(x)=|x−3a|+|x+4b|.(II)当 a=1,b=12时, 解不等式f(x)⩾7;(II) 若函数 f(x)的最小值为 6 , 求3a+b的最大值.参考答案及解析1. 【答案】C 【解析】略2. 【答案】A 【解析】略3. 【答案】B 【解析】抛物线 x2=2y的焦点在y轴上, 则焦点坐标为0,12，故选: B4. 【答案】C 【解析】略5. 【答案】C 【解析】略6. 【答案】B 【解析】略7. 【答案】D 【解析】略8. 【答案】B 【解析】略9. 【答案】C 【解析】略10. 【答案】A 【解析】略11. 【答案】D 【解析】略12. 【答案】B 【解析】略13. 【答案】13 【解析】略14. 【答案】240 . 【解析】二项式 x−2x6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r∙(−2)r∙x6−3r2, 令6−3r2=0, 求得r=4, 可得展开式中的常数项是C64∙24=240,15. 【答案】1+52 【解析】双曲线的两个焦点 (−c,0), 和(c,0),令 x=−c, 则c2a2−y2b2=1, 则有 y=±b2a,令 x=c, 则c2a2−y2b2=1,则有 y=±b2a,设 A−c,b2a,B−c,−b2a,Cc,−b2a,Dc,b2a,则 AB=2b2a,BC=2c,∵这四个交点恰好为正方形的四个顶点， ∴AB=BC,即 2b2a=2c, 则b2=ac,即 c2−a2=ac,∴c2−ac−a2=0∴e2−e−1=0,得 e=1+52或e=1−52 e>1,∴e=1+5216. 【答案】②③④ 【解析】略17. 【解析】 ( I ) 由 (0.004×2+0.022+0.030+0.028+m)×10=1,解得 m=0.012.(II) 由题意知不低于 80 分的队伍有 50×(0.12+0.04)=8支,不低于 90 分的队伍有 50×0.04=2支.随机变量 X的可能取值为0,1,2.∵P(X=0)=C63C83=514,P(X=1)=C62C21C83=1528,P(X=2)=C61C22C83=328, ∴X的分布列为E(X)=0×514+1×1528+2×328=34.18. 【解析】 (I) ∵ba=sinC+cosC,由正弦定理知 sinBsinA=sinC+cosC,即 sinB=sinAsinC+sinAcosC.在 △ABC中, 由B=π−(A+C),∴sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=sinAsinC+sinAcosC.∴cosAsinC=sinAsinC.∵C∈(0,π),∴sinC≠0.∴sinA=cosA.∵A∈(0,π),∴A=π4.(II) 若选择条件①, 由正弦定理 asinA=csinC,得 asinC=csinA=22c=2.∴c=22.又 22sinB=3sinC, 即22b=3c.∴b=3.∴S△ABC=12bcsinA=12×3×22sinπ4=3.若选择条件②, 由 22sinB=3sinC,即 22b=3c.设 c=22m,b=3m(m>0).则 a2=b2+c2−2bccosA=5m2.∴a=5m.由 ac=210, 得m=1.∴a=5,b=3,c=22.∴S△ABC=12bcsinA=12×3×22sinπ4=3.19. 【解析】 ( I ) ∵DE//AB,DE⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,∴DE//平面PAB.∵DE⊂平面PDE, 平面PDE∩平面PAB=l,∴DE//l.由图① DE⊥AC, 得DE⊥DA,DE⊥DP,∴l⊥DA,l⊥DP.。