高等数学（上册）高等数学（上册）第第5 5章章常微分方程常微分方程微分方程是用来描述客观事物数量关系的一种重要的数学模型，它在几何学、物理学、工程技术和经济学等许多领域都被广泛应用建立微分方程后，对它进行分析研究，找出未知函数，就是解微分方程“微分方程”一词是在1676年詹姆士伯努利致牛顿的信中第一次提出的，直到18世纪中期，微分方程才成为一门独立的学科微分方程建立后，便成为研究、了解现实世界的重要工具之一1846年，数学家与天文学家合作，通过求解微分方程，发现了海王星1991年，科学家在阿尔卑斯山发现一个肌肉丰满的冰人，据躯体所含碳原子的消失程度，通过微分方程求解，推断出这个冰人大约遇难于五千年前 5.1 5.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念本章主要介绍常微分方程的基本概念和一些简单常微分方程的解法，包括可分离变量的微分方程、齐次型微分方程、一阶线性微分方程、可降阶的微分方程、二阶线性微分方程、常系数线性微分方程等5.1 5.1 常微分方程的基本概念常微分方程的基本概念5.1.1 引例引例5.1.1 引例引例5.1.1 引例引例5.1.1 引例引例5.1.2 基本概念基本概念5.1.2 基本概念基本概念5.1.2 基本概念基本概念5.1.2 基本概念基本概念5.1.2 基本概念基本概念5.1.2 基本概念基本概念5.1.2 基本概念基本概念5.1.2 基本概念基本概念5.2 一阶微分方程一阶微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.1 可分离变量微分方程可分离变量微分方程5.2.2 齐次型微分方程齐次型微分方程5.2.2 齐次型微分方程齐次型微分方程5.2.2 齐次型微分方程齐次型微分方程5.2.2 齐次型微分方程齐次型微分方程5.2.2 齐次型微分方程齐次型微分方程5.2.2 齐次型微分方程齐次型微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程5.2.3 一阶线性微分方程一阶线性微分方程*5.2.4 伯努利方程伯努利方程*5.2.4 伯努利方程伯努利方程*5.2.4 伯努利方程伯努利方程*5.2.4 伯努利方程伯努利方程5.3 可降阶的微分方程可降阶的微分方程5.4 二阶线性微分方程解的结构二阶线性微分方程解的结构5.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.1 二阶齐次线性微分方程解的结构二阶齐次线性微分方程解的结构5.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构5.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构5.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构5.4.2 二阶非齐次线性微分方程解的结构二阶非齐次线性微分方程解的结构5.5 二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.1 二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法二阶常系数线性非齐次微分方程的求解方法5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例5.6 微分方程的应用举例微分方程的应用举例。