2020新版高一暑期衔接数学讲义

新版高一暑期衔接数学课程课程名称高水准预习好高一数学，赢在起跑线面向学生的层次新高一全体学生课时计划2 6 课时课程设计理念和设计思路使即将升入高一的学生既夯实知识基础、又及早触及高一重点难点，抢先一步，占领高一制高点，赢在高一起跑线。本课程共分一十五讲、3 0 课时，具体设置如下：第一讲 数与式 2课时第二讲 一元二次函数与一元二次不等式 2课时第三讲 一元二次方程与韦达定理 2 课时第四讲 基本不等式 2 课时第五讲 集合的基本概念和基本运算 2 课时第六讲 集合的综合复习 2课时第七讲 常用逻辑用语 2 课时第八讲 函数的概念与定义域 2 课时第九讲 求函数的值域 2 课时第十讲 函数的解析式 2课时第十一讲 函数的表示方法及值域综合复习 2 课时第十二讲 函数的单调性（1）2 课时第十三讲 函数的单调性（2）2 课时第十四讲 函数的奇偶性 2 课时第十五讲 幕指对函数 2 课时课 程特 色温故知新、上通下连，着重提高。预 期效 果缓解学生的压力感和畏难心理，增强学生的自信心，预习高中新知、积累高中数学方法、提高能力。使学生升入高一后在学习方法和学习成绩都产生质的飞跃。第1讲 教 与 去教学目标1、理解并掌握乘法公式与因式分解2、理解并掌握二次根式的运算与化简3、理解并掌握繁分式的化简重点、难点乘法公式与因式分解二次根式与分式考点及考试要求1、理解并掌握乘法公式与因式分解2、理解并掌握二次根式的运算与化简3、理解并掌握繁分式的化简教学内容知识框架数与式数与式分解因式Ml 乘法公式-根式分式公式法分组分解法十字相乘法*的 因 式 分 解 方 法知识点一：乘法公式【内容概述】【公式 1 (a +b+c)2=a2+b2+c2+2 a b+2 b c+2 c a【公式2】(a +b a2-a b+b2)=a3+b3(立方和公式)【公式3(。-b)(a2+)=/一 /(立方差公式)【公式4(a +b)3=a3+b3+3a2b+3a b2(请同学证明)【公式5】(a-b)3=a3-3a2b+3a b2-b3(请同学证明)【典型例题一1】：例 1.计算：(龙 2 一 瓦 +；)2 例 2.计算：(2a +b)(4a2-2a b+h2)例 3.计 算 (3 x +2 y)(9 x2-6 x y+4y2)(2)(2%-3)(4 x2+6 x y+9)变 式 1:利用公式计算，、门 1 1 ,1 1(1)m (/-+7 +)(2 3)4 6 9(2)(+/?)(a2-a +/?2)(a-/?)(c z2+a b+b2)变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解(1)2 7 加3 3 (2)2 7/n3-/?3(3)x3-1 2 5 (4)m6-n68【典型例题一2】：1 1 1 1 1-例 4.计算：(1)(一机 n)(m-根几+一犷)5 2 2 5 1 0 49.1例 5.已知x 3 x+1=0,求 r H的值.X例 6.已知Q +Z?+C =0,求4(4+,)+力(1 +!)+0(,+!)的值.b c c a a b变式 1:计算：(x +l)(x -1)(/一 x +1)(X2+x +1).变式 2:己知 a+Z?+c =4,a b+b c+a c =4,求/+0?的值.知识点二、根式【内容概述】式子6 3 0)叫做二次根式，其性质如下：(1)(Va)2=a a 0)(3)a b-yfa -4b(a 0,/?0)(4)(2)V?=|a|=(a 0,b 0)【典型例题一 1】；基本的化简、求值例 7.化简下列各式：/逝 _ 2)2+(痒 1)2(2)J(l x)2+(2 X)2(X1)例8.计算J4+2 6变 式 1:二次根式J/=一。成立的条件是（）A.a 0 B.a0 C.a0 D.a 是任意实数变式2:若 x3,则4 9 一6 1+/-|一6|的值是（）A.-3 B.3 C.-9 D.9变式3：计算J 7 +4 6【说明】1,二次根式的化简结果应满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数不含能开得尽方的因数或因式.2、二次根式的化简常见类型有下列两种：被开方数是整数或整式.化 简时，先将它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来;分母中有根式（如 日 方），或被开方数有分母（如 普）.这 时可将其 化 为 空 形 式（如 J I 可化 为 强），转 化 为“分母中有根式”的情况.3化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根式进行化简.（如一J2+V3化为一3/4）L，其中2+百 与 2-6叫做互为有理化因式）.（2+6）（2-逝）【典型例题一2】：有理化因式和分母有理化有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做有理化因式。如及与五；+打 与 0爪 一 久 方 互 为 有理化因式。分母有理化：在分母含有根式的式子里，把分母中的根式化去，叫做分母有理化。例 9.计算：（1）（6+赤+1）（1-&+乐）-（石+扬/（2）&+诟a-J a b a+l a b例 10.设x=半,y=2 1，求f +y3的值2 5/3 2+J 3知识点三、分式【典型例题一 1】:分式的化简例 11.化简-不巴9 +-三二、例 12.化简 一一E-27 9x-x3 6+2x 1-x1+1X X【典型例题一2】：分式的证明例 13.（1）试证：-=-（其中”是正整数）；（+1）n +1(2)计算：+；1x 2 2x 3 9 x 10(3)证明：对任意大于1的正整数，有一!一+一+?l,2c-5a c+2a=0f 求 e 的值.a变 式1:对任意的正整数，一=_-(+2)变式2：选择题：若2口=2,则土=()x+y 3 y、5 4 6(A)1 (B)-(C)-(D)-4 5 5变式3:计算 一+一+一+.+i.1x 2 2x 3 3x 4 9 9 x 10 0知识点四、因式分解【内容概述】因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形。在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等。【典型例题一 1】：公式法(立方和、立方差公式)【内容概述】我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：(a+h)(a2-a b+b2)-a+by(立方和公式)【内容概述】(1)V+(p +q)x+p q型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：二次项系数是1；常数项是两个数之积；(a-b)(a2+a b+b2)=a3-b3(立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：ay+及=(a +h)(a2-a b+b2)a3-b？*1=(a -b)(a2+a b+b2)这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)。运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解。例1 5.用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1)8 +x3(2)0.1 2 5-2 7 b3变式：分解因式：3a3b-8 1b4(2)a7-a b6【典型例题一2】：分组分解法【内容概述】从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式.而对于四项以上的多项式，如，w a +7泌+也+，力既没有公式可用，也没有公因式可以提取.因此，可以先将多项式分组处理.这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法.分组分解法的关键在于如何分组.常见题型：(1)分组后能提取公因式(2)分组后能直接运用公式(1)分组后能提取公因式例1 6.把2奴一1 0纱+5力 法分解因式。变式：把一 筋)一 一 )分解因式。(2)分组后能直接运用公式例1 7.把V-y 2+a x +a y分解因式。变式：把2/+4孙+2 y?-g z?分解因式。【典型例题一3】：十字相乘法一次项系数是常数项的两个因数之和.X2+(p +q)x+p q=x2+p x +qx+p q=x(x+p)+q(x +)=(x +p)(x +q),(1)Y+(p+q)x+p q 型的因式分解例 1 8.把下列各式因式分解：(1)Y 7 x +6 (2)f+13x+3 6例 1 9.把下列各式因式分解:(1)x2+5 x-2 4例 2 0.把下列各式因式分解:(1)x1+x y-6 y2(2)一般二次三项式2+笈+c 型的因式分解例 2 1.把下列各式因式分解：12f5 x 2 (2)5/+6 盯一 8 y 2运用这个公式，可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式.(2)一般二次三项式原2+区+，型的因式分解由4 a 2 田 2+(%0 =(1x +c1)(a2x +c2),我们发现,二次项系数。分解成q外，常数项c 分解成仇。2,把 知。2，。，。2 写成%x；,这里按斜线交叉相乘，再相加，就得至i Jq c a+g C。如 果 它 正 好 等 于 a/+b x+c的 一 次 项 系 数 ，那 么 o x?+法+。就 可 以 分 解 成(4%+4)(4%+。2),其 中 位 于 上 一 行，生，。2 位于下一行.这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解.(2)%2 2.x 1 5(x?+x)8(x +x)+1 2变式练习:(1)x-6x+5(2)X2+15X+56(3)x2+2xy-3y2(4)(x2+x)24(x2+x)-12【典型例题一3 :其它因式分解的方法(1)配方法例 22.分解因式/+6 x-16变式：(1)X2+12X+20(2)a+a2b2+b(2)拆项法(选讲)例 23.分解因式一-3 1+4(3)其它方法(选讲)例 24.(X2-5X+2)(X-5X+4)-8课后练习1.填空:(1)a2-b2-(b+-a)(9 4 2 3(2)(4m+)2=16m2+4m+()；(3)(a+2 b-c)2=a2+4b2+c2+().(4)(x-2 y)(x2+2 x y +4/)+8/=1,则的值为(5)若x2+x +l =0,则f2 x 1 =(6)17 1 n l i 3 2-a b一，b=一，则-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 3 3a2+5a b-2h2 若V+x y-2 y 2=0,则 二 汇了=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _x +y(8)若yj C l -b -yj-b yj Cl，则()(A)a b(C)a h 0(D)b a 0 时，函数y =o?+公+c图象开口方向_；顶点坐标为_，对称轴为直线_；当_ 时，y随着x的增大而_；当_ 时，y随着x的增大而_；当_ 时，函数取最小值_.2、当a 0 时,函数在x =2 处取得最小值4七,无最大值;当a 0 有最小值，a =。月+/z x +c 在（其中？0时求最小值或a 0时求最大值，需分三种情况讨论：对称轴小于m即x0 n ,即对称轴在m WxW的右侧。（2）若 a 0时求最大值或a 0时求最小值，需分两种情况讨论：对称轴后 4 ,即对称轴在加WxW的中点的左侧；1 7 1 +n对称轴X。丝L，即对称轴在m WxW”的中点的右侧；说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置【典型例题】例8.求下列函数的最大值或最小值.(1)y 2x2-3 x-5 ；(2)y=-x2-3x +4例9.当时，求函数y =-2 一x +1的最大值和最小值.例1 0.当xN O时，求函数y =x(2 x)的取值范围.例1 1.当+l时，求函数y =%g的最小值(其中 为常数).变 式1：设。0,当-I W x W l时，函数y =-%2 -a x+8 +l的最小值是-4,最大值是0,求的值.