2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备考点42 空间向量的概念（原卷版）

2022届高考数学艺考生冲刺文化课必备 考点42 空间向量的概念 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量(平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2．数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积：①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 1、在下列命题中： ①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行； ②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面； ③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面； ④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc. 其中正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2、已知向量a＝(2m＋1，3，m－1)，b＝(2，m，－m)，且a∥b，则实数m的值等于(　　) A. B．－2 C．0 D.或－2 3、在空间直角坐标系中，已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且满足|PA|＝|PB|，则P点坐标为(　　) A．(3，0，0) B．(0，3，0) C．(0，0，3) D．(0，0，－3) 4、已知a＝(1，0，1)，b＝(x，1，2)，且a·b＝3，则向量a与b的夹角为(　　) A. B. C. D. 考向一　空间向量的线性运算 例1、如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则向量＝ (用a，b，c表示)． 变式、在三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，． 方法总结：用已知向量表示某一向量的方法用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．将向量用有向线段表示，根据向量加法的几何意义，若干条有向线段依次首尾相接时，和向量是以第一条有向线段的起点指向最后一条有向线段的终点的有向线段来表示的；反过来，一条有向线段也可以表示成若干条有向线段的和的形式．这是一条很有用的结论，要注意体会，掌握其应用． 考向二 共线、共面向量定理的应用 例2、已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， (1)求证：E，F，G，H四点共面； (2)求证：BD∥平面EFGH； (3)设P是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有 ． 考向三 空间向量数量积的应用 例3、　如图所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°． (1)求AC1的长； (2)求证：AC1⊥BD； (3)求BD1与AC夹角的余弦值． 方法总结： (1)求夹角，设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，可求两异面直线所成的角． (2)求长度(距离)，运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题． (3)解决垂直问题，利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题． 考向四 空间向量的坐标运算 例4　若a＝(1，5，－1)，b＝(－2，3，5)． (1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k； (2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k． 变式1、已知空间三个点A(-2，0，2)，B(-1，1，2)和C(-3，0，4)，设a=，b=． (1) 求a与b所成角的余弦值； (2) 试确定实数k，使ka+b与ka-2b互相垂直． 1、如图，在三棱锥O —ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于(　　) A. (－a＋b＋c) B. (a＋b－c) C. (a－b＋c) D. (－a－b＋c) 2、下列命题中正确的是(　　) A． 如果向量a，b与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么a，b的关系是不共线； B． 如果O，A，B，C为空间四点，且向量不构成空间的一组基底，那么点O，A，B，C一定共面； C． 已知向量a，b，c是空间的一组基底，则向量a＋b，a－b，c，也是空间的一组基底． D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0. 其中正确的命题是_______． 3、在下列条件中，不能使M与A，B，C一定共面的是(　　) A．＝2－－； B．＝＋＋； C．＋＋＝0； D．＋＋＋＝0； 4、与向量共线的单位向量是 ． 5、若向量a＝（－1，x，5）与b＝（2x，－8，y）共线，且方向相同，则x＝______． 6、已知a＝(2，－1，2)，b＝(2，2，1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为________． 学科网（北京）股份有限公司