资源描述
5.4 圆周角和圆心角的关系
一．选择题
1．如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC＝50°，则∠BOC的度数为（ ）
A．100° B．110° C．125° D．130°
2．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，AC交BD于点G．若∠COD＝126°，则∠CAB的度数为（ ）
A．63° B．45° C．30° D．27°
3．如图，点A、B、C在⊙O上，∠ACB＝40°，弧AB的度数为（ ）
A．80° B．40° C．20° D．60°
4．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD＝40°，弦DC的长等于半径，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
5．如图，AB是⊙O的直径，A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝110°，则∠D的度数为（ ）
A．25° B．35° C．55° D．70°
6．如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上的一点，∠AOP＝45°，则∠BOP的度数为（ ）
A．45° B．50° C．55° D．75°
7．如图，在⊙O中，弦AB所对的圆周角∠C＝45°，AB＝，BC＝1，则∠A度数为（ ）
A．30° B．36° C．45° D．60°
8．如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（ ）
A． B．2 C． D．
9．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD＝130°，则∠A的度数为（ ）
A．50° B．65° C．115° D．130°
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝110°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．100° C．110° D．120°
11．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠B＝108°，则∠D的大小为（ ）
A．36° B．54° C．62° D．72°
12．如图，四边形ABCD内接于⊙O上，∠A＝60°，则∠BCD的度数是（ ）
A．15° B．30° C．60° D．120°
二．填空题
13．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为 ．
14．如图，已知⊙O的两条弦AB、CD相交于点E，且E分AB所得线段比为1：3，若AB＝4，DE﹣CE＝2，则CD的长为 ．
15．如图，弦AB与CD交于点E，AE＝3，BE＝2，DE＝，则CE＝ ．
16．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠ADC＝80°，则∠ABC的度数是 ．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结BD．若＝，∠BDC＝50°，则∠ADC的大小是 度．
三．解答题
18．如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点P，PC＞PD．
（1）试说明：△PAC∽△PDB；
（2）设PA＝4，PB＝3，CD＝8，求PC、PD的长．
19．如图，已知AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OA、DE、BE．
（1）若∠AOD＝60°，求∠DEB的度数；
（2）若CD＝2，弦AB＝8，求⊙O的半径长．
20．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C的切线与AE垂直，且交AE的延长线与点D，连接AC．
（1）求证：CE＝CB；
（2）若AC＝2，CE＝，求AE的长．
21．已知：△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC，BC于点D，E，且点E为BC边的中点．
（1）求证：AC＝AB；
（2）若BE＝2，AD＝6，求⊙O半径长．
22．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且AD平分∠CAB，作DE⊥AB于E．
（1）求证：AC∥OD；
（2）求证：OE＝AC．
参考答案
一．选择题
1．解：∵对的圆心角为∠BOC，对的圆周角为∠BAC，∠BAC＝50°，
∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，
故选：A．
2．解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BAD＝90°，
∵∠CAD＝∠COD＝×126°＝63°，
∴∠CAB＝∠BAD﹣∠CAD＝90°﹣63°＝27°．
故选：D．
3．解：∵∠ACB＝40°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝80°，
∴弧AB的度数为80°，
故选：A．
4．解：连接OC，如图，
∵CD＝OD＝OC，
∴△ODC为等边三角形，
∴∠DOC＝60°，
∴∠AOC＝∠AOD+∠DOC＝40°+60°＝100°，
∴∠B＝∠AOC＝50°．
故选：C．
5．解：∵∠AOC＝110°，
∴∠BOC＝180°﹣110°＝70°，
∴∠D＝∠BOC＝35°，
故选：B．
6．解：∵对的圆周角是∠ACB，圆心角是∠AOB，
∴∠AOB＝2∠ACB，
∵∠ACB＝50°，
∴∠AOB＝100°，
∵∠AOP＝45°，
∴∠BOP＝∠AOB﹣∠AOP＝55°，
故选：C．
7．解：连接OA、OB、OC，如图所示：
∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB＝OA＝AB＝1，
∴OC＝OB＝1，
∵BC＝1，
∴OB＝OC＝BC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠BAC＝∠BOC＝30°，
故选：A．
8．解：连接OD交AC于H，如图，
∵点D是的中点，
∴OD⊥AC，AH＝CH＝2，
∴PH＝1，
∵AP•PC＝BP•PD，
∴PD＝＝，
在Rt△PDH中，DH＝＝，
在Rt△DCH中，CD＝＝．
故选：A．
9．解：∵＝，
∴∠C＝∠DOB＝×130°＝65°，
∵∠A+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣65°＝115°，
故选：C．
10．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C＝180°，∠A＝110°，
∴∠C＝180°﹣110°＝70°．
故选：A．
11．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠B+∠D＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝180°﹣108°＝72°．
故选：D．
12．解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，
∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，
故选：D．
二．填空题
13．解：由相交弦定理得，PA•PB＝PC•PD，
∴5×4＝3×DP，
解得，DP＝，
故答案为：．
14．解：∵E分AB所得线段比为1：3，AB＝4，
∴AE＝1，EB＝3，
由相交弦定理得，AE•EB＝CE•ED，
∴1×3＝CE×（CE+2），
解得，CE1＝1，CE2＝﹣3（舍去），
则CE＝1，DE＝2，
∴CD＝1+3＝4，
故答案为：4．
15．解：由相交弦定理得，AE•BE＝DE•CE，
∴3×2＝×CE，
解得，CE＝4，
故答案为：4．
16．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝100°，
故答案为：100°．
17．解：∵＝，
∴∠ABC＝∠BDC＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130．
三．解答题
18．（1）证明：由圆周角定理得，∠A＝∠D，∠C＝∠B，
∴△PAC∽△PDB；
（2）解：由相交弦定理得到，PA•PB＝PC•PD，即3×4＝PC×（8﹣PC），
解得，PC＝2或6，
则PD＝6或2，
∵PC＞PD，
∴PC＝6，PD＝2．
19．解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠BOD＝∠AOD＝60°，
∴∠DEB＝∠BOD＝×60°＝30°；
（2）设⊙O的半径为r，则OC＝r﹣2，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：（r﹣2）2+42＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5．
20．（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1＝∠3．
又∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴CE＝CB；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝2，CB＝CE＝，
∴，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∠1＝∠2，
∴△ADC∽△ACB，
∴，
即，
∴AD＝4，DC＝2，
在Rt△DCE中，DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝4﹣1＝3．
21．（1）证明：连接AE，如图，
∵AB为直径，
∴∠AEB＝90°，
∴AE⊥BC，
∵BE＝CE，
∴AE垂直平分BC，
∴AC＝AB；
（2）解：∵∠CDE＝∠B，∠DCE＝∠BCA，
∴△CDE∽△CBA，
∴CD：BC＝CE：CA，即CD：4＝2：（CD+6），
∴CD＝4，
∴AC＝AD+AC＝6+4＝10，
∴AB＝10，
∴⊙O半径为5．
22．证明：（1）∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵AO＝DO，
∴∠BAD＝∠ADO，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AC∥OD；
（2）过O作OF⊥AC于F
∵DE⊥AB，OF⊥AC，
∴∠AFO＝∠DEO＝90°，
∵AC∥OD，
∴∠FOD＝∠AFO＝90°，
∴∠FAO+∠FOA＝90°，∠FOA+∠EOD＝90°，
∴∠FAO＝∠EOD，
在△AFO和△OED中，
，
∴△AFO≌△OED（AAS），
∴AF＝OE，
∵OF⊥AC，OF过O，
∴AF＝CF＝AC，
∴OE＝AC．
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