资源描述
5.9 弧长及扇形的面积
一．选择题
1．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（ ）
A．cm B．cm C．3cm D．cm
2．如图，一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（ ）
A．4圈 B．3圈 C．5圈 D．3.5圈
3．如图，▱ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为（ ）
A．π B．π C．π D．π
4．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（ ）
A．π B．π C． D．
5．A，B是⊙O上的两点，OA＝1，劣弧的长是，则∠AOB的度数是（ ）
A．30 B．60° C．90° D．120°
6．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝40°，AB＝6，则弧BC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知⊙P与坐标轴交于点A，O，B，点C在⊙P上，且∠ACO＝60°，若点B的坐标为（0，3），则劣弧OA的长为（ ）
A．2π B．3π C． D．
8．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，若∠ABC＝30°，则的长为（ ）
A．5 B．π C． D．π
9．如图，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA＝60°，设扇形AOC、△COB、弓形BmC的面积为S1、S2、S3，则它们之间的关系是（ ）
A．S1＜S2＜S3 B．S2＜S1＜S3 C．S1＜S3＜S2 D．S3＜S2＜S1
10．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
二．填空题
11．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为 ．
12．一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 度．
13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，则的长为 ．
14．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留π）．
三．解答题
15．如图，已知点A、B、P、D、C都在在⊙O上，且四边形BCEP是平行四边形．
（1）证明：＝；
（2）若AE＝BC，AB＝，的长度是，求EC的长．
16．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AE＝2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
参考答案
一．选择题
1．解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr＝，
r＝cm．
故选：A．
2．解：如图，设圆的周长是C，
则圆所走的路程是圆心所走过的路程即等边三角形的周长+三条圆心角是120°的弧长＝4C，
则这个圆共转了4C÷C＝4圈．
故选：A．
3．解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠B＝70°，AD＝BC＝6，
∴OA＝OD＝3，
∵OD＝OE，
∴∠OED＝∠D＝70°，
∴∠DOE＝180°﹣2×70°＝40°，
∴的长＝＝；
故选：B．
4．解：∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝∠OAP＝90°，
在四边形APBO中，∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，
∵OA＝2，
∴的长l＝＝π，
故选：C．
5．解：∵OA＝1，的长是，
∴，
解得：n＝60，
∴∠AOB＝60°，
故选：B．
6．解：∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠A＝40°，
∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝80°，
∴的长＝＝，
故选：D．
7．解：连接AB、OP，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙P的直径，
∵∠ACO＝60°，
∴∠APO＝120°，∠ABO＝60°，
∴∠BAO＝30°，
∵OB＝3，
∴AB＝2OB＝6，
∴的长＝2π，
故选：A．
8．解：连接OC、OA，
∵∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∴的长＝＝π，
故选：D．
9．解：作OD⊥BC交BC与点D，
∵∠COA＝60°，
∴∠COB＝120°，则∠COD＝60°．
∴S扇形AOC＝；
S扇形BOC＝．
在三角形OCD中，∠OCD＝30°，
∴OD＝，CD＝，BC＝R，
∴S△OBC＝，S弓形＝＝，
＞＞，
∴S2＜S1＜S3．
故选：B．
10．解：∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积＝△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积＝△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝＝，
故选：A．
二．填空题
11．解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴l＝，
即2π＝，
则扇形的半径R＝6．
故答案为：6
12．解：根据l＝＝＝11π，
解得：n＝110，
故答案为：110．
13．解：∵点A（1，1），
∴OA＝＝，点A在第一象限的角平分线上，
∵以点O为旋转中心，将点A逆时针旋转到点B的位置，
∴∠AOB＝45°，
∴的长为＝．
故答案为．
14．解：根据题意得，S阴影部分＝S扇形BAD﹣S半圆BA，
∵S扇形BAD＝＝4π
S半圆BA＝•π•22＝2π，
∴S阴影部分＝4π﹣2π＝2π．
故答案为2π．
三．解答题
15．（1）证明：连接PC，如图1，
∵四边形BCEP是平行四边形，
∴PE∥BC，∠E＝∠PBC，
∴∠EPC＝∠PCB，
∴＝；
（2）解：如图2，连接AP、BD、CD、OA、OB、OC、OD、OP
∵四边形PBCD是圆内接四边形，四边形APDC是圆内接四边形，
∴∠EDC＝∠PBC＝∠PAC，
∴△APE和△CDE是等边三角形，
∴∠EAP＝60°，
∵PB∥EA，
∴∠APB＝∠EAP＝60°，
∴∠AOB＝120°，
作OF⊥AB于F，则∠AOF＝∠AOB＝60°，AF＝BF＝AB＝，
∴OA＝＝1，
∵的长度是，
∴＝，
∴n＝30°，
∴∠POD＝30°，
∴∠PBD＝15°，
∵∠PBC＝∠E＝60°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠DOC＝90°，
∵OC＝OD＝1，
∴CD＝，
∵△ECD是等边三角形，
∴EC＝CD＝．
16．（1）证明：连接BD，
∵AB，CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠AEB＝90°，
∵点B恰好为的中点，
∴＝，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，
∴∠ABE＝∠CDB，
∴＝，
∴AE＝BC；
（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABE中，cos∠A＝，
∴AB＝＝＝4，
∴⊙O的半径为2．
（3）连接OE，
∵∠A＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴△EOB是等边三角形，
∵OB＝OE＝2，
∴S△EOB＝×2×＝，
∴S阴＝S扇形﹣S△EOB＝﹣＝﹣．
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