湖北省武汉市青云中学2023年高三数学文测试题含解析

湖北省武汉市青云中学2023年高三数学文测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 参考答案： D 2. 设椭圆，双曲线，（其中）的离心率分别为 ，则（    ） A. B. C. D. 与1大小不确定 参考答案： B 在椭圆中，，∴， 在双曲线中，，∴， ∴ 3. 等差数列满足：，则 A．             B．             C．             D． 参考答案： B 4. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥D-ABC体积的最大值为     （      ） A.           B.         C.            D.   参考答案： C 5. 若集合，则实数的取值个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 参考答案： B 6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　） A． B． C． D．2 参考答案： B 【考点】由三视图求面积、体积． 【分析】几何体为三棱锥，棱锥的高为1，底面为直角边为2的等腰直角三角形． 【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥的高为1，底面为直角边为2的等腰直角三角形， ∴几何体的体积V=××2×2×1=． 故选：B． 7. 若b为实数，且a+b=2，则3a+3b的最小值为（　　） A．18 B．6 C．2 D．2 参考答案： B 【考点】基本不等式． 【分析】3a+3b中直接利用基本不等式，再结合指数的运算法则，可直接得到a+b． 【解答】解：∵a+b=2，∴3a+3b 故选B 8. 下列关于零向量的说法不正确的是（　　） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的方向是任意的 C．零向量与任一向量共线 D．零向量只能与零向量相等 参考答案： A 【考点】零向量． 【分析】根据题意，依次分析选项：对于A、零向量有方向，故可得A错误；对于B、符合零向量的定义，B正确；对于C、符合零向量的性质，C正确；对于D、符合零向量的定义，D正确；综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A、零向量有方向，且其方向是任意的，故A错误； 对于B、零向量的方向是任意的，符合零向量的定义，B正确； 对于C、零向量与任一向量共线，C正确； 对于D、零向量是模为0的向量，故零向量只能与零向量相等，D正确； 故选：A． 【点评】本题考查零向量的定义以及性质，关键是掌握零向量的有关性质． 9. 已知集合，，则A∩B=（　　）． A. B. {－1,0,1,2} C. {1,2} D. {0,1,2} 参考答案： D 【分析】 先分别求出集合A，B，由此能求出． 【详解】， 本题正确选项：D 10. 已知且，则函数与函数的图像可能是（     ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（）=　　． 参考答案： ﹣1 【考点】反函数． 【分析】由题意，x≤0，2x=，求出x，即可得出结论． 【解答】解：由题意，x≤0，2x=，∴x=﹣1， ∴f﹣1（）=﹣1． 故答案为﹣1． 12. 给出定义：若，则叫做实数的“亲密函数”，记作，在此基础上给出下列函数的四个命题： ①函数在上是增函数；②函数是周期函数，最小正周期为1； ③函数的图像关于直线对称； ④当时，函数有两个零点. 其中正确命题的序号是                               参考答案： ②③④ 本题主要考查新定义函数，函数的单调性、周期性、对称性以及函数的零点问题.要求能根据定义画出函数的图像，从中体会数形结合思想的应用.依题可知当时，；当时，；当时，，作出函数的图像， 可知①错，②，③对，再作出的图像可判断有两个交点，④对.   13. 已知log2x+log2y=1，则x+y的最小值为　    　． 参考答案： 2 【考点】基本不等式；对数的运算性质． 【分析】由log2x+log2y=1，得出xy=2，且x＞0，y＞0；由基本不等式求出x+y的最小值． 【解答】解：∵log2x+log2y=1， ∴log2（xy）=1， ∴xy=2，其中x＞0，y＞0； ∴x+y≥2=2，当且仅当x=y=时，“=”成立； ∴x+y的最小值为． 故答案为：2． 14. 已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)．若f(a)＝－2，则实数a＝__________. 参考答案： －1 15. 在直角三角形中，，，则__________． 参考答案： 16 16. 将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第次全行的数都为1的是第           行． 第1行　　　　　 1    1 第2行         1   0   1 第3行       1   1   1   1 第4行     1   0   0   0   1 第5行   1   1   0   0   1   1 ………… 参考答案： 17. 已知，则_____________________。 参考答案： 。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数，若的单调减区间 恰为（0，4）。 （1）求的值：    （2）若对任意的，关于的方程总有实数解，求实数的取值范围。 参考答案： 略 19. （本小题共13分） 设△的内角的对边分别为且． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）若，求的值． 参考答案： 【知识点】解斜三角形 【试题解析】（Ⅰ）， 由正弦定理得， 在△中，，即，， ． （Ⅱ），由正弦定理得， 由余弦定理， 得， 解得，∴． 20. 已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，已知a1+a4=﹣，且对于任意的n∈N*有Sn，Sn+2，Sn+1成等差数列； （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）已知bn=n（n∈N+），记，若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立，求实数m的范围． 参考答案： 【考点】等比数列的通项公式；数列的求和；数列与函数的综合． 【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比，利用对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差得2S3=S1+S2，代入首项和公比后即可求得公比，再由已知，代入公比后可求得首项，则数列{an}的通项公式可求； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an和已知bn=n代入整理，然后利用错位相减法求Tn，把Tn代入（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）后分离变量m，使问题转化为求函数的最大值问题，分析函数的单调性时可用作差法． 【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q， ∵对于任意的n∈N+有Sn，Sn+2，Sn+1成等差， ∴2． 整理得：． ∵a1≠0，∴，2+2q+2q2=2+q． ∴2q2+q=0，又q≠0，∴q=． 又， 把q=代入后可得． 所以，； （Ⅱ）∵bn=n，，∴， ∴． ． ∴= ∴． 若（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立， 则（n﹣1）2≤m[（n﹣1）?2n+1+2﹣n﹣1]对于n≥2恒成立， 也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）?（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立， ∴m≥对于n≥2恒成立， 令， ∵= ∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=． ∴m． 所以，（n﹣1）2≤m（Tn﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）． 21. 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，.   （1）证明：AD1⊥B1D； （2）设E是线段A1B1上的动点，是否存在这样的点E，使得二面角E-BD1-A的余弦值为，如果存在，求出B1E的长；如果不存在，请说明理由. 参考答案： 解：（1）连结，，则由余弦定理可知， 由直棱柱可知， （6分） （2）以为原点，以方向为轴，以方向为轴，以方向为轴， 建立坐标系. （），，， ，， ，， ，又，则，故长为1.（12分） 22. (本小题满分12分)己知函数 (1)当时，求函数的最小值和最大值； (2)设ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=，f(C)=2，若向量m=(1，a)与向量n=(2，b)共线，求a，b的值． 参考答案：                      …………3分 ∵，∴， ∴，从而 则的最小值是，最大值是2       …………6分 （2），则，