湖北省荆州市南门中学高三数学理模拟试卷含解析

湖北省荆州市南门中学高三数学理模拟试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 右图是函数在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为（   ）   A．      B．   C．      D． 参考答案： B 略 2. 已知数列{an}，则是数列{an}是递增数列的（    ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 参考答案： B 【分析】 根据充分条件和必要条件定义进行判断即可． 【详解】若“a1＜a2＜a3”，则“数列{an}是递增数列”，不一定，充分性不成立，若“数列{an}是递增数列”，则“a1＜a2＜a3”成立，即必要性成立，故“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的必要条件． 故选B. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，属基础题. 3. 函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（　　） A．（﹣∞，2] B．（﹣∞，2） C．[0，+∞） D．（2，+∞） 参考答案： B 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】问题等价于f′（x）=2在（0，+∞）上有解，分离出参数a，转化为求函数值域问题即可． 【解答】解：函数f（x）=lnx+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，即f′（x）=2在（0，+∞）上有解， 而f′（x）=+a，即+a=2在（0，+∞）上有解，a=2﹣，因为x＞0，所以2﹣＜2， 所以a的取值范围是（﹣∞，2）． 故选B． 4. 在△OAB中（O为坐标原点），，，若=－5，则△OAB的面积为（   ） A．             B．           C．            D． 参考答案： D 略 5. 已知各项为正数的等差数列的前20项和为100，那么的最大值为     A.25                  B.50 C.100 D.不存在 参考答案： A 6. 在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？（　　） A．9日 B．8日 C．16日 D．12日 参考答案： A 【考点】等比数列的前n项和． 【分析】良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1=103，d=13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5．求和即可得到答案． 【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列， 记为{an}，其中a1=103，d=13； 驽马每日行的距离成等差数列， 记为{bn}，其中b1=97，d=﹣0.5； 设第m天相逢，则a1+a2+…+am+b1+b2+…+bm =103m++97m+=2×1125， 解得：m=9． 故选：A． 7. 若函数f(x)=x3+ax2+bx+c，x∈[－2，2]表示的曲线过原点，且在x=±1处的切线的斜率为－1，有以下命题：                                       （1）f(x)的解析式为：f(x)=x3－4x，x∈[-2，2]    （2）f(x)的极值点有且仅有一个    （3）f(x)的最大值与最小值之和等于零 其中假命题个数为（   ） A．0个                           B．1个                         C．2个                             D．3个 参考答案： 答案：B  8. 已知向量，若，则实数的值为 A．          B．               C．          D． 参考答案： D 9. 设x, y满足约束条件，若目标函数(a.>0,b>0)，最大值为12，则 的最小值为 A.             B.                C. 5                D. 4 参考答案： B 做出可行域，由得，因为，所以直线斜率，直线截距越大，越大，做出直线，，由图象可知当直线经过点B时，截距做大，此时，由得，代入直线得，即。所以，当且仅当，即时取等号，所以选B. 10. 已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为（    ）     A．              B．               C．               D．  参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若变量满足约束条件则的最大值是________． 参考答案： 3 解答： 由图可知在直线和的交点处取得最大值，故.   12. 已知直线x＝a(0＜a＜)与函数f(x)＝sinx和函数g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，若MN＝，则线段MN的中点纵坐标为   ▲    ． 参考答案： 13. 如右图，是圆的直径，直线与圆相切于点，  于点，若圆的面积为，，则的长为      ． 参考答案： 1  14. 平面向量的夹角为，，，则        ． 参考答案： 15. 曲线在点处的切线与轴交点的纵坐标是__________ 参考答案： 10 略 16. 已知函数，则________. 参考答案： -2 17. 如图是判断“美数”的流程图，在[30，40]内的所有整数中“美数”的个数是     。   参考答案： 3 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数 . (1)若曲线 在 处的切线相互平行，求两平行直线间的距离． （2）若对任意恒成立，求实数的值； （3）当 时，对于函数 ，记在图象上任意两点A、B连线的斜率为 ,若恒成立，求的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）,依题意得:a=2; ……………2分 曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x－y－2=0, 曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x－y－1=0. ……………3分 两直线间的距离为……………4分 （Ⅱ）令h(x)=f(x)－g(x) +1, ,则 当a≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分 又h(1)=0,故00,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分 当a>0时, 当,当时, 所以h(x)在上是增函数,在上是减函数, ……………8分 ∴h(x)≤ 因为h(1)＝0,又当a≠2时, ,与不符.所以a＝2.  ……………9分 （Ⅲ）当a<0时,由(2)知<0,∴h(x)在(0,＋∞)上是减函数, 不妨设00), ……………12分 ∴－2x2＋x＋a≤0在x>0时恒成立,∴a≤(2x2－x)min ……………13分 又x>0时, (2x2－x)min= ∴a≤－,又a<0,∴a的取值范围是.  ……………14分 19. 已知函数．（e是自然对数的底数） （1）求f(x)的单调递减区间； （2）记，若，试讨论g(x)在上的零点个数．（参考数据：） 参考答案： （1）．（2）见解析 【分析】 （1）求出导函数，解不等式，结合三角函数的性质可得解； （2）求出，令，由导数的知识求得的单调性，然后通过讨论的正负确定的单调性的极值，确定其零点个数． 【详解】解：（1），定义域为． ． 由解得，解得． ∴的单调递减区间为． （2）由已知，∴． 令，则． ∵，∴当时，； 当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减． ∵，． ①当，即时，，∴． ∴，使得， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递增，在上单调递减． ∵，∴． 又∵， ∴由零点存在性定理可得，此时在上仅有一个零点． ②若时，， 又∵在上单调递增，在上单调递减，又， ∴，，使得，， 且当、时，；当时，． ∴在和上单调递减，在上单调递增． ∵，∴． ∵，∴． 又∵，由零点存在性定理可得， 在和内各有一个零点， 即此时在上有两个零点． 综上所述，当时，在上仅有一个零点； 当时，在上有两个零点． 【点睛】本题考查利用导数判断函数的单调性、求极值等问题，考查等人转化思想、分类讨论思想的综合应用，涉及构造函数、多次求导等方法，有一定的综合性，考查学生的分析问题能力和逻辑思维能力，属于难题． 20. 已知函数.      （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递减区间；      （Ⅱ）若，求的值域. 参考答案： （1），减区间：；     （2）. 略 21. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知三点． （1）求经过的圆的极坐标方程； （2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角 坐标系，圆的参数方程为 （是参数），若圆与圆外切，求实数的值． 参考答案： （1）；（2）． 试题分析：（1）求出圆的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程；（2）将圆化成普通方程，根据两圆外切列出方程解出． （2）圆（是参数）对应的普通方程为， 因为圆与圆外切，所以，解得． 考点：1、圆的参数方程；2、简单曲线的极坐标方程． 22. 已知函数 （1）求函数的定义域； （2）求函数的零点； （3）若函数的最小值为-4，求a的值。 参考答案： 解，, , .                        ……………12分