湖北省荆门市孙桥中学高三数学理模拟试题含解析

湖北省荆门市孙桥中学高三数学理模拟试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 为虚数单位，若位于     （    ）        A．第一象限               B．第二象限                C．第三象限               D．第四象限   参考答案： C 略 2. 把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面平面，形成三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，则侧视图的面积为   A.            B.           C.         D.  参考答案： D 3. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。设函数，则                     A. 2011           B. 2012            C. 2013            D. 2014 参考答案：    C 略 4. 命题：“”，则命题的否定是（   ） A.     B. C.    D. 参考答案： C 5. 已知数列，若利用如图所示的程序框图计算并输出该数列的第10项，则判断框内的条件可以是 A. B. C. D. 参考答案： C 略 6. 已知，则（　　） A 、  　　　B、3    　　C、 0    　　D、 参考答案： B == 【考点】同角三角函数间的基本关系的应用，二倍角公式。   7. 已知实数x，y满足约束条件   则z=2x+y的最大值为(     ) A．3  　　    　 B．5  　　　　    C．6　　　　 D．不存在 参考答案： C 8. 给出如下四个命题：其中不正确的命题的个数是（    ）    ①若“且”为假命题，则、均为假命题； ②命题“若，则”的否命题为“若，则”； ③“”的否定是“”； ④在△中，“”是“”的充要条件. A．4                  B．3              C．2                 D．1 参考答案： C 略 9. 执行右面的程序框图，如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足 （A）y=2x           （B）y=3x  （C）y=4x             （D）y=5x     参考答案： C 试题分析：第一次循环：， 第二次循环：， 第三次循环：此时满足条件，循环结束，输出，满足．故选C. 10. 已知点O为△ABC所在平面内一点，满足，M为AB中点，点P在内（不含边界），若，则的取值范围是（    ） A. (1,2) B. C. D. 参考答案： A 【分析】 首先由已知可知点是的重心，如图，根据向量的运算可知，则化简为 ，再根据和的范围得到的范围. 【详解】如图： ， 点是的重心，点是的中点， ， ， 当点在内（不含边界）， ， ， ， ， ， ， ， . 故选：A 【点睛】本题考查向量的加法和减法以及共线的运算，重点考查转化与化归和化简能力，属于基础题型. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知a＞b＞0，那么a2+的最小值为　 　． 参考答案： 4 【考点】基本不等式． 【分析】先利用基本不等式求得b（a﹣b）范围，进而代入原式，进一步利用基本不等式求得问题答案． 【解答】解：因为 a＞b＞0，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 那么  的最小值是4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用． 解题的时候注意两次基本不等式等号成立的条件要同时成立． 12. 设O是△ABC的重心，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b=2，c=，则=　　　　　　． 参考答案： -1 考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用重心的性质和向量的运算法则可得可得=（+），再利用数量积的运算性质即可得出． 解答： 解：设D为边BC的中点，如图所示，则=（）， 根据重心的性质可得==×（+） =（+）． 则=（）?（+）=（﹣） =[22﹣（）2]=﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键 13. 已知中，AB=，BC=1，tanC=，则AC等于______. 参考答案： 2 由，所以。根据正弦定理可得，即，所以，因为，所以，所以，即，所以三角形为直角三角形，所以。 14. 如果函数在区间（-∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是    ▲        。 参考答案： 略 15. 在中，已知=1，则面积的最大值是         。 参考答案： 16. 已知的方程是，的方程是，由动点向和所引的切线长相等，则运点的轨迹方程是__________________ 参考答案： 答案： 解析：：圆心，半径；：圆心，半径．设，由切线长相等得，． 17. 己知函数，当曲线y = f(x)的切线L的斜率为正数时,L在x轴上截距的取值范围为____________. 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）设数列的前项和为，已知为 常数，），　． （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数，使成立？若存在，求出所有符合条件 的有序实数对；若不存在，说明理由． 参考答案： ，即，……………………………8分 即，因为，所以， 所以，且， 因为，所以或或．………………………………………… 10分 当时，由得，，所以； 当时，由得，，所以或； 当时，由得，，所以或或， 综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为： ．……………………………………………12分 19. 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4的公共弦长为4 （1）求椭圆C的方程； （2）已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另一点，求?的值． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】（1）运用椭圆的离心率公式和对称性可得椭圆经过点（±2，3），代入椭圆方程，解得a，b，进而得到椭圆方程； （2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x﹣4），由直线和圆相切的条件：d=r，可得k，再由直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得B的横坐标，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值． 【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2， 椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4的公共弦长为4， 可得椭圆经过点（±2，3）， 即有+=1， 解得a=4，b=2， 即有椭圆的方程为+=1； （2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x﹣4）， 由直线与圆x2+y2=相切，可得=， 解得k=±， 将直线y=±（x﹣4），代入椭圆+=1，消去y，可得 31x2﹣32x﹣368=0， 设B（x0，y0），可得4x0=﹣， 则?=（4，0）?（x0，y0）=4x0=﹣． 20. 已知函数f(x)＝ax2－bx＋lnx，a，b∈R． （1）当a＝b＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程； （2）当b＝2a＋1时，讨论函数f(x)的单调性； （3）当a＝1，b＞3时，记函数f(x)的导函数f ′(x)的两个零点是x1和x2 (x1＜x2)． 求证：f(x1)－f(x2)＞－ln2． 参考答案： （1）2x－y－2＝0；（2）当a≤0时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减．0＜a＜时，f(x)在区间(0，1)和区间(，＋∞)上单调递增，在区间(1，)上单调递减．当a＝时， f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．a＞时，f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间( ，1)上单调递减．（3）证明见解析． 试题分析：（1）求切线方程，可根据导数的几何意义，求出导数，计算，切线方程为 ，化简即可；（2）研究单调性，同样求出导函数＝，x＞0．然后研究的正负，实质只要研究函数式的正负，必须分类讨论，确定分类的标准是：，，在时，按，，分类；（3）要证明此不等式，首先要考察的范围与关系，由已知求出，因此是方程的两根，，粗略地估计一下，由于，因此有，由此可知f(x)在上为减函数，从而有f(x1)－f(x2)＞f()－f(1)，这里，正好可证明题设结论． 当a＝时， 因为f ′(x)≥0（当且仅当x＝1时取等号）， 所以f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增． 当a＞时， 由f ′(x)＞0得0＜x＜或x＞1，由f ′(x)＜0得＜x＜1， 所以f(x)在区间(0，)和区间(1，＋∞)上单调递增，在区间(，1)上单调递减． …………………… 10分 考点：导数的几何意义，用导数研究单调性，函数的综合应用． 【名师点睛】 1．导数法求函数单调区间的一般流程: 求定义域→求导数f'(x)→求f'(x)=0在定义域内的根→用求得的根划分定义区间→确定f'(x)在各个开区间内的符号→得相应开区间上的单调性． 2．在函数中含有参数时，解方程f'(x)=0时必须对参数进行分类讨论，这里分类讨论的标准要按照不等式的形式正确确定． 3．已知函数的单调性,求参数的取值范围,应用条件f'(x)≥0(或f'(x)≤0),x∈(a,b),转化为不等式恒成立问题求解. 21. 已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并予以证明； （3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围． 参考答案： 【考点】函数奇偶性的判断；对数的运算性质；对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点． 【专题】计算题． 【分析】（1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域． （2）利用函数解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），进而判断出函数为奇函数． （3）根据当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，可推断出f（x）＞0，进而可知进而求得x的范围． 【解答】解：（1）f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），则解得﹣1＜x＜1． 故所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}． （2）f（x）为奇函数 由（1）知f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}， 且f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x）， 故f（x）为奇函数． （3）因为当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数， 所以． 解得0＜x＜1． 所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}． 【点评】本题主要考查了函数的定义域，奇偶性的判断和单调性的应用．要求考生对函数的基本性质熟练掌握． 22. （12分）设函数.   (1)判断函数奇偶性； （2）证明：的导数；   (3) 求函数在区间的最大值和最小值(结果用分式表示). 参考答案： 解析:（1）∵,, ∴函数的定义域为实数R.                               ……1分 又∵ ∴函数为奇函数.