湖北省荆门市牌楼中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆门市牌楼中学2022年高二数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在ΔABC中，a=2，b=3，c=4，则ΔABC的面积是                  （A）    （B）         （C）        （D） 参考答案： A 2. 复数是虚数单位的虚部是（    ） A．   B．         C．        D． 参考答案： D 3. 已知 ，猜想的表达式为（    ）           A.     B.     C.   D. 参考答案： B 4. 已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的      （A）重心 外心 垂心   （B）外心 重心 垂心   （ C）重心 外心 内心   （D）外心 重心 内心 参考答案： B 略 5. 函数f（x）=2sinxcosx是（　　） A． 最小正周期为2π的奇函数     B． 最小正周期为2π的偶函数 C． 最小正周期为π的奇函数     D． 最小正周期为π的偶函数 参考答案： C 6. 若，且为第四象限角，则的值等于(  ) A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 先计算 ，再计算 【详解】，且为第四象 故答案选B 【点睛】本题考查了同角三角函数值的关系，属于简单题. 7. 设i是虚数单位，a∈R，若i（ai+2）是一个纯虚数，则实数a的值为（　　） A．﹣ B．﹣1 C．0 D．1 参考答案： C 【考点】复数代数形式的乘除运算． 【分析】根据所给的复数是一个纯虚数，得到这个复数的实部等于0且虚部不等于0，得到结果． 【解答】解：∵i（ai+2）是纯虚数， 即﹣a+2i是纯虚数， ∴﹣a=0， ∴a=0 故选：C． 8. 已知函数，在区间内任取两个不相等的实数、，若不等式恒成立，则实数的取值范围是(    ) A．(－∞,2]         B．       C.         D． 参考答案： B 9. 在等比数列{an}中，若，则 (     ) 　A．5 B. ±5 C. ±3 D.3 参考答案： D 10. 函数的定义域是 A.    B.     C.     D. 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知命题p：“函数在R上有零点”，命题q：函数f（x）=在区间（1，+∞）内是减函数，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围为　　． 参考答案： [，1] 【考点】复合命题的真假． 【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，根据若p∧q为真命题，取交集即可． 【解答】解：函数在R上有零点， 即﹣=m2﹣+有解， 令g（x）=﹣≤﹣， 故m2﹣+≤﹣， 解得：≤m≤2； 故p为真时：m∈[，2]； 函数f（x）=在区间（1，+∞）内是减函数， 则m≤1， 若p∧q为真命题，则p真q真， 故， 故答案为：[，1]． 12. 已知点及椭圆上任意一点，则最大值为           。 参考答案： 13. 空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B= _____ 参考答案： 略 14. 在平面直角坐标系中，已知圆（为参数）和直线（为参数），则直线与圆相交所得的弦长等于            ． 参考答案： 15. 如下图所示的数阵中，第10行第2个数字是________． 参考答案： 16. 以下四个关于圆锥曲线的命题中： ①设、为两个定点，为非零常数，，则动点的轨迹为双曲线； ②过定圆上动点作水平直径所在直线的垂线，垂足为点,若则点的轨迹为椭圆； ③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率； ④双曲线有相同的焦点. 其中真命题的序号为             ． 参考答案： ②③④ 17. 已知AC，BD为圆O：x2+y2=9的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，），则四边形ABCD的面积的最大值为　　． 参考答案： 15 【考点】直线与圆相交的性质． 【分析】由圆的方程找出圆心坐标为（0，0），半径r=3，设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2，再由M的坐标，根据矩形的性质及勾股定理得到d12+d22=OM2，由M和O的坐标，利用两点间的距离公式求出OM2，进而得到d12+d22的值，再由圆的半径，弦心距及弦长的一半，由半径的值表示出|AB|与|CD|的长，又四边形ABCD的两对角线互相垂直，得到其面积为两对角线乘积的一半，表示出四边形的面积，并利用基本不等式变形后，将求出的d12+d22的值代入，即可得到面积的最大值． 【解答】解：∵圆O：x2+y2=9， ∴圆心O坐标（0，0），半径r=3， 设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2， ∵M（1，）， 则d12+d22=OM2=12+（）2=3， 又|AC|=2，|BD|=2 ∴四边形ABCD的面积S=|AC|?|BD|=2?≤18﹣（d12+d22）=18﹣3=15， 当且仅当d12 =d22时取等号， 则四边形ABCD面积的最大值为15． 故答案为：15． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切， ①求椭圆的方程。 ②设，是椭圆上关于X轴对称的任意两个不同的点，连接交椭圆于另一个点，证明直线与X轴交于定点。 参考答案： 解：（1）由题意知所以。即 又因为，所以， 故椭圆C的方程为。 （2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为 由，得 ① 设点，则 直线AE的方程为，令，得， 将代入，整理得 ②。 由①得代入②整理得，x=1 所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0）。   略 19. 已知命题：函数是增函数，命题：。 （1）写出命题的否命题；并求出实数的取值范围，使得命题为真命题； （2）如果“” 为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围。 参考答案： 20. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e=，短轴长为6，求椭圆的标准方程． 参考答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】分类讨论；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），可得，解出即可得出；当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程． 【解答】解：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），可得，解得a=6，b=3， 可得椭圆的标准方程为=1． 当焦点在y轴上时，同理可得椭圆的标准方程为=1． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21. （本题满分12分）如图，三棱柱的底面是边长为的正三角形，侧棱垂直于底面，侧棱长为，为棱的中点。 （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求二面角的大小。   参考答案： （Ⅰ）连接交于点，连接，则为中边上的中位线 所以 又平面，平面，所以平面 （Ⅱ）因为为等边三角形，为中点，所以      由侧棱垂直于底面知，三棱柱为直三棱柱，所以平面平面      又平面平面，平面 所以平面，又平面，平面 所以，故为二面角的平面角 由知在中， 所以，故所求二面角的大小为 22. 已知定义域为R的函数是奇函数 （1）求实数a,b的值（2）判断并证明在上的单调性 （3）若对任意实数,不等式恒成立,求k的取值范围 参考答案： （1）（2）见解析（3） 【分析】 （1）由是上的奇函数，得，且，代入可得的值；（2）由的解析式，用单调性定义可以证明是定义域上的减函数；（3）对任意实数，不等式恒成立，结合奇函数可得对恒成立，即可求得的取值范围. 【详解】（1）由于定义域为的函数是奇函数, ∴ ∴经检验成立 （2）在上是减函数. 证明如下:设任意 ∵∴ ∴在上是减函数 , （3）不等式 由奇函数得到所以, 由在上是减函数,∴对恒成立 ∴或 综上:. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的性质和应用，以及不等式恒成立问题.解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.