湖北省荆门市东宝中学2022-2023学年高二数学文月考试卷含解析

湖北省荆门市东宝中学2022-2023学年高二数学文月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知坐标平面上的凸四边形ABCD满足=(1，)，=(﹣，1)，那么·的取值范围是（　　） A．（﹣1，） B．（﹣1，2] C．[﹣2，0） D．[0，2] 参考答案： C 【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】根据向量的模的计算和向量的坐标运算得到四边形ABCD为对角线垂直且相等的四边形，问题得以解决． 【解答】解：∵， ∴?=1×（﹣）+×1=0， ∴⊥， ∴凸四边形ABCD的面积为AC×BD=×2×2=2， 设AC与BD交点为O，OC=x，OD=y，则AO=2﹣x，BO=2﹣y， 则?=（+）（+）=?+?+?+?2﹣=x（x﹣2）+y（y﹣2）=（x﹣1）2+（y﹣1）2﹣2，（0＜x，y＜2）； ∴当x=y=1时，?=﹣2为最小值， 当x→0或1，y→0或1时， ?接近最大值0， ∴?的取值范围是[﹣2，0）． 故选：C． 2. 设，则关于的方程有解的一个必要不充分条件是（　　） A．   B．    C．    D． 参考答案： A 略 3. A.               B.                    C.                D. 参考答案： A 4. 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数，如果，那么 是函数的极值点．因为在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中　                                 (　　) A.大前提错误      B.小前提错误       C.推理形式错误    D.结论正确 参考答案： A 略 5. 已知直线与圆相切，则满足条件的直线l有（     ）条 A． 1        B．2       C. 3        D．4 参考答案： C 由于直线和圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，即，（其中），故，或 ，正弦值为的只有在轴正半轴，正弦值为可以在第三或者第四象限，故有种可能，所以选.   6. 已知函数，，若方程在(0,2)上有两个不等实根，则实数m的取值范围是（    ） A. B. C. D. 参考答案： C 【分析】 对的范围分类，即可将“方程在上有两个不等实根”转化为“在内有实数解，且方程的正根落在内”，记，结合函数零点存在性定理即可列不等式组，解得：，问题得解。 【详解】当时，可化为： 整理得： 当时，可化为： 整理得：，此方程必有一正、一负根. 要使得方程在上有两个不等实根， 则在内有实数解，且方程的正根落在内. 记， 则，即：，解得：. 故选：C 【点睛】本题主要考查了分类思想及转化思想，还考查了函数零点存在性定理的应用，还考查了计算能力及分析能力，属于难题。 7. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，过右焦点F作直线交该双曲线于A、B两点，P为x轴上一点，且|PA|=|PB|，若|AB|=8，则|FP|=（　　） A．2 B．4 C．8 D．16 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=，直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程，消去y，运用两根之和，运用双曲线的第二定义可得|AB|，以及P的坐标，计算即可得到． 【解答】解：设弦AB的中点为（m，n），双曲线的右焦点为（c，0），右准线方程为x=， 由e=2，即c=2a，b=a． 直线AB的方程为y=k（x﹣c），代入双曲线的方程， 可得（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2c2k2﹣a2b2=0， 即为（3a2﹣a2k2）x2+4a3k2x﹣4a4k2﹣3a4=0， x1+x2=． 则由双曲线的第二定义可得|AB|=|AF+|BF|=2（x1﹣）+2（x2﹣）=2（x1+x2）﹣2a=8， 即有2?=8+2a，即=8，① 则m=，n=k（m﹣2a）=， 弦AB的中垂线方程为y﹣n=﹣（x﹣m）， 可得P（，0）， 则|PF|=|﹣2a|=||， 由①可得，|PF|=8． 故选C． 8. 过抛物线焦点F的一条直线与抛物线交A点（A在x轴上方），且,l为抛物线的准线，点B在l上且，则A到BF的距离为（     ）. A.     B.2      C.     D. 参考答案： A 9. F1，F2是定点，且|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则M点的轨迹方程是(    ) A.椭圆        B.直线      C.圆     D.线段 参考答案： D 10. 已知函数则（    ）    A、 B、 C、 D、 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体封闭容器内可向各个方向自由运动，则该小球表面永远不可能接触到的容器内壁的面积是          ．                            参考答案： 如图，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心． 因 ， 故，从而． 记此时小球与面的切点为，连接，则 ． 考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体 的棱长为，过作于．    因，有，故小三角形的边长． 小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分） ．　　　　　　　　　 又，，所以 ． 由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为． 12. 如图, 是从参加低碳生活知识竞赛的学生中 抽出60名，将其成绩整理后画出的频率分布直方 图,则这些同学成绩的中位数为_______. (保留一位小数)     参考答案： 13. 　 ▲　　． 参考答案：     略 14. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=　　． 参考答案： 30° 【考点】正弦定理． 【分析】已知sinC=2sinB利用正弦定理化简，代入第一个等式用b表示出a，再利用余弦定理列出关系式，将表示出的c与a代入求出cosA的值，即可确定出A的度数． 【解答】解：将sinC=2sinB利用正弦定理化简得：c=2b， 代入得a2﹣b2=bc=6b2，即a2=7b2， ∴由余弦定理得：cosA===， ∵A为三角形的内角， ∴A=30°． 故答案为：30° 15. 已知定义在复数集上的函数满足， 则          . 参考答案： 略 16. 如图，第n个图形是由正n+2边形“扩展”而来，(n=1、2、3、…)， 参考答案： B 17. P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0），则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和的最小值为　    　． 参考答案： 3 【考点】K8：抛物线的简单性质． 【分析】利用抛物线的定义结合不等式求解即可． 【解答】解：因为P为抛物线x2=﹣4y上一点，A（2，0）在抛物线的外侧，由抛物线的定义可得：P到准线的距离d等于到焦点的距离，则P到此抛物线的准线的距离与P到点A的距离之和为：d+|PA|=|PF|+|PA|≥|AF|=3， 所求的最小值为3． 故答案为：3． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本小题满分12分) 已知曲线 y = x3 + x－2 在点 P0 处的切线  平行直线 4x－y－1=0，且点 P0 在第三象限, ⑴求P0的坐标; ⑵若直线  , 且 l 也过切点P0 ,求直线l的方程. 参考答案： 解:⑴由y=x3+x－2，得y′=3x2+1， 由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4. 又∵点P0在第三象限, ∴切点P0的坐标为 (－1,－4). ⑵∵直线,的斜率为4,∴直线l的斜率为, ∵l过切点P0,点P0的坐标为 (－1,－4) ∴直线l的方程为即. 略 19. 为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午 8：00—10：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图： ⑴甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ ⑵甲网站点击量在[10，40]间的频率是多少？乙网站点击量的众数是多少？ ⑶甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。 参考答案： 解：（1）甲网站的极差为：73-8=65；      乙网站的极差为：71-5=66       （2）甲网站点击量在[10，40]间的频率为4/14=2/7=0.28571       乙网站点击量的众数是42.  (3)甲网站的点击量集中在茎叶图的下方，而乙网站的点击量集中在茎叶图的上方，所以甲网站更受欢迎。 略 20. 参考答案： 证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD， ∴AB⊥CD，        ∵CD⊥BC且AB∩BC=B， ∴CD⊥平面ABC.                                又        ∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF平面BEF,        ∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.                             （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD， ∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.                                       ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴                                 由AB2=AE·AC 得      故当时，平面BEF⊥平面ACD. 21. 在直线上任取一点，过作以为焦点的椭圆，当在什么位置时，所作椭圆长轴最短？并求此椭圆方程。 分析：因为，即问题转化为在直线上求一点，使到 的距离的和最小，求出关于的对称点，即求到、的和最小，的长就是所求的最小值。 参考答案： 解：设关于的对称点 则 ，连交于，点即为所求。 ： 即 解方程组                            当点取异于的点时，。 满足题意的椭圆的长轴 所以        椭圆的方程为： 略 22. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知. （1）求角C；（2）若，，求△ABC的周长. 参考答案： （1）（2） 【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把化成，利用和角公式可得从而求得角；（2）根据三角形的面积和角的值求得，由余弦定理求得边得到的周长. 试题解析：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 考点：正余弦定理解三角形.