湖北省荆州市草市中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析

湖北省荆州市草市中学2022-2023学年高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知全集，，，则集合 等于 （    ） A．   B．   C．   D． 参考答案： B 2. P是双曲线的右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为                                       （    ）        A．－a                     B．a                        C．－c                     D．c 参考答案： 答案：B 3. 定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称，且f（x）在上恒成立，则实数m的取值范围为（　　） A．[，] B．[，] C．[，] D．[，] 参考答案： D 【考点】3R：函数恒成立问题． 【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤2mx﹣lnx≤6对x∈恒成立，2m≥且2m≤对x∈恒成立．求得相应的最大值和最小值，从而求得m的范围． 【解答】解：∴定义在R上的函数f（x）的图象关于y轴对称， ∴函数f（x）为偶函数， ∵函数数f（x）在恒成立， 即f（2mx﹣lnx﹣3）≥f（3）对x∈恒成立． ∴﹣3≤2mx﹣lnx﹣3≤3对x∈恒成立， 即0≤2mx﹣lnx≤6对x∈恒成立， 即2m≥且2m≤对x∈恒成立． 令g（x）=，则 g′（x）=，在上递减，∴g（x）max=． 令h（x）=，h′（x）=＜0，在上递减，∴h（x）min=． 综上所述，m∈[，]． 故选D． 【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题． 4. 正六棱锥P—ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D—GAC与三棱锥P—GAC体积之比为(　　) A．1∶1  B．1∶2 C．2∶1  D．3∶2 参考答案： C 略 5. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等”.下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别是5，2，则输出的n等于(    ) A．2         B．3       C.4         D．5 参考答案： C 6.  设函数，若时，有，则实数的取值范围是（    ） A．         B．         C．         D． 参考答案： D 7. 设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为(    ) A.           B.        C.       D. 2 参考答案： B 8. 定义在R上的奇函数 A. B.2 C. D. 参考答案： A 9. 如图，点O为坐标原点，点A（1，1），若函数y=ax（a＞0，且a≠1）及logbx（b＞0，且b≠1）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足(     ) A．a＜b＜1 B．b＜a＜1 C．b＞a＞1 D．a＞b＞1 参考答案： A 【考点】指数函数的图像与性质． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】先由图象得到0＜a＜1，0＜b＜1，再根据反函数的定义可以得出y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M，根据对数函数的图象即可得到a＜b． 【解答】解：由图象可知，函数均为减函数，所以0＜a＜1，0＜b＜1， 因为点O为坐标原点，点A（1，1）， 所以直线OA为y=x， 因为y=ax经过点M，则它的反函数y=logax也经过点M， 又因为logbx（b＞0，且b≠1）的图象经过点N， 根据对数函数的图象和性质， ∴a＜b， ∴a＜b＜1 故选：A． 【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质，以及反函数的概念和性质，属于基础题． 10. 执行如图所示的程序框图，如果输入的N是5，那么输出的p是（　　） A．120 B．720 C．1440 D．5040 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得： 第一次执行循环体后，p=1，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=2 再次执行循环体后，p=2，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=3， 执行循环体后，p=6，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=4， 执行循环体后，p=24，满足继续循环的条件k＜N（k＜5），则k=5， 执行循环体后，p=120，不满足继续循环的条件k＜N（k＜5）， 故输出结果为：120， 故选：A． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，用秦九昭法计算，其中乘法的次数是          ． 参考答案： 5 由已知，得 ，易知计算f(5)共乘了5次.   12. 设直线的方向向量是，直线的法向量是，若与平行，则_________. 参考答案： 13. =____________________. 参考答案： 2 14. 在中，，，是边的中点，则      ． 参考答案： 答案：  解析：根据向量的加减法法则有: ,此时 . 15. 定义：在数列中，若，则称为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断： ①若是“等方差数列”，则数列是等差数列；②是“等方差数列”； ③若是“等方差数列”，则数列也是“等方差数列”； ④若既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列． 其中正确的命题为                 ．（写出所有正确命题的序号） 参考答案： ③④ 16. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的参数方程为，它与曲线相交于两点A,B，则∠AOB=      ； 参考答案： 略 17. 某校在一次测试中约有600人参加考试，数学考试的成绩（，试卷满分150分），统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次测试中数学考试成绩不低于120的学生约有___________人. 参考答案： 120 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分） 中华人民共和国《道路交通安全法》中将饮酒后违法驾驶机动车的行为分成两个档次：“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量Q（简称血酒含量，单位是毫克/100毫升），当20≤Q≤80时，为酒后驾车；当Q＞80时，为醉酒驾车。 某市公安局交通管理部门于2012年4月的某天晚上8点至11点在市区设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图（其中Q ≥140的人数计入120 ≤ Q＜140人数之内）。 （1）求此次拦查中醉酒驾车的人数； （2）从违法驾车的60人中按酒后 驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人 做样本进行研究，再从抽取的8人中任 取3人，求3人中含有醉酒驾车人数 的分布列和期望。 参考答案： （1） (0.0032+0.0043+0.0050)×20=0.25，0.25×60=15,所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．             　　                                           --------4分 （2） 易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人；所以x的所有可能取值为0,1,2；P(x=0)==,P(X=1)==,P(x=2)== X的分布列为 0 1 2 --------------------------------------------------------------------------10分       -------------------12分 略 19. 如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°． （1）求证：PC⊥AC； （2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值； （3）求点B到平面MAC的距离． 参考答案： 解：方法1：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB， 又BC与AB交于点B∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC． （2）取BC的中点N，连MN．∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC． 作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH． 由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M﹣AC﹣B的平面角． ∵直线AM与直线PC所成的角为60°， ∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°． 在△ACN中，． 在Rt△AMN中，． 在Rt△NCH中，． 在Rt△MNH中，∵，∴． 故二面角M﹣AC﹣B的余弦值为． （3）作NE⊥MH于E．∵AC⊥平面MNH，∴AC⊥NE，∴NE⊥平面MAC， ∴点N到平面MAC的距离为．∵点N是线段BC的中点， ∴点B到平面MAC的距离是点N到平面MAC的距离的两倍为． 方法2：（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，∴PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC． （2）在平面ABC内，过C作BC的垂线，并建立空间直角坐标系如图所示．设P（0，0，z），则．． ∵， 且z＞0，∴，得z=1，∴． 设平面MAC的一个法向量为=（x，y，1），则由 得得∴． 平面ABC的一个法向量为．． 显然，二面角M﹣AC﹣B为锐二面角，∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为． （3）点B到平面MAC的距离． 略 20. （本小题满分12分）化简或求值： （1）  （2）。 参考答案： 解：（1） 原式==2×22×33+2 — 7— 2+ 1 =210    （2）。解：分子=； 分母=；原式=1。 略 21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点． （1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值； （2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率． 参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值； （2）方法二：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k==；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率． 【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，① 由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，② 解得：a2=9，b2=5， ∴a=3，b=， （2）方法一：由（1）可知： =，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2， 设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2）， ，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2， ∴y2=，由y2＞0，则y2=， 由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a， 则，整理得：（5m2+9）y2﹣