湖北省荆门市金龙泉实验中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析

湖北省荆门市金龙泉实验中学2023年高三数学理下学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C= A. B. C. D. 参考答案： B 【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可 详解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， ∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0， ∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC≠0， ∴cosA=﹣sinA， ∴tanA=﹣1， ∵＜A＜π， ∴A= ， 由正弦定理可得， ∵a=2，c=， ∴sinC== ， ∵a＞c， ∴C=， 故选B． 点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 2. 设集合A={1，2，4，6，8}，B={1，2，3，5，6，7}，则A∩B的子集个数为(     ) A．3 B．6 C．8 D．16 参考答案： C 【考点】子集与真子集． 【专题】集合． 【分析】先求得A∩B={1，2，6}，再根据含n的元素的集合的子集个数共有2n个，得出结论． 【解答】解：由于A∩B={1，2，6}，含有3个元素，故它的自己个数为23=8， 故选：C． 【点评】本题主要考查求两个集合的交集，子集个数的运算，利用含n的元素的集合的子集个数共有2n个，属于基础题． 3. 若正数，满足，且对任意，恒成立，则的取值范围是--------（ ★ ） A．，           B．，            C．，           D．， 参考答案： D 4. 则(    ) (A)       (B)        (C)       (D) 参考答案： D 略 5. 若a，b都是实数，则“”是“a2﹣b2＞0”的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】由“”可推出“a2﹣b2＞0”成立，而由“a2﹣b2＞0”成立不能推出“”成立，从而得出结论． 【解答】解：由“”可得 a＞b＞0，故有“a2﹣b2＞0”成立，故充分性成立． 由“a2﹣b2＞0”可得|a|＞|b|，不能推出，故必要性不成立． 故“”是“a2﹣b2＞0”的充分而不必要条件， 故选A． 【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，不等式的基本性质的应用，属于基础题． 6. 已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a2+b2=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程． 【解答】解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上， ∴c=5，可得a2+b2=25…① 又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=x上， ∴=…②， ①②联解，得a=3且b=4， 可得双曲线的方程﹣=1． 故选：C． 7. 给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 参考答案： B 略 8. 已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则该双曲线的离心率为 A．       B．         C．3          D． 参考答案： B 9. 设全集U=R，集合A={x||x|≤1}，B={x|log2x≤1}，则?UA∩B等于（　　） A．（0，1] B． C．（1，2] D．（﹣∞，﹣1）∪ 参考答案： C 考点： 交、并、补集的混合运算． 专题： 集合． 分析： 求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出A补集与B的交集即可． 解答： 解：由A中不等式解得：﹣1≤x≤1，即A=， 由B中不等式变形得：log2x≤1=log22， 解得：0＜x≤2，即B=（0，2]， ∴?UA=（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）， 则（?UA）∩B=（1，2]， 故选：C． 点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键． 10. 已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，且，则数列{an}的通项公式an为                        （    ）       A．n                         B．n+2                   C．2n－1                   D．2n+1 参考答案： 答案：C 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 正六边形ABCDEF的对角线AC和CE分别被内点M和N分割，且有．如果B、M、N共线，则r的值为　　． 参考答案： 【考点】NC：与圆有关的比例线段． 【分析】根据正六边形的特点建立坐标系，不妨设边AB=1，求出A、B、C、E的坐标，设M的坐标，由条件和向量相等列出方程，求出M的坐标，同理求出点N的坐标，求向量的坐标运算求出、的坐标，将B，M，N三点共线转化为∥，由共线向量的坐标条件列出方程，求出r的值． 【解答】解：建立如图坐标系，不妨设正六边形ABCDEF的边AB=1， 则A（0，0），B（1，0），C（，）， E（0，）， 设M的坐标为（x，y）， ∵，∴（x，y）=r（，）， 则x=r，y=r，即M（r， r）， 同理可求，N的坐标是（（1﹣r），（1+r））， ∴=（r﹣1， r），=（﹣r，（1+r））， ∵B，M，N三点共线， ∴∥，则（r﹣1）×（1+r）﹣r×（﹣r）=0， 化简得，3r2=1，解得r=， 故答案为：． 12. 下图茎叶图是甲、乙两人在5次综合测评中成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为          . 参考答案： 试题分析：由图可知，甲的5次成绩分别是88、89、90、91、92，易知甲的平均分为90.乙的成绩分别是83、83、87、99，其中被污损的那次成绩为90到99中的某一个.设被污损的那次成绩为，由甲的平均成绩超过乙的平均成绩，得.所以.又是90到99的十个整数中的其中一个，其中有8个整数小于98，所以的概率. 13. 若（1+mx）6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6，且a1+a2+…+a6=63，则实数m的值为　_________　． 参考答案： 1或-3 14. 已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=，cos（α+β）=﹣，则sinβ=　　． 参考答案： 【考点】两角和与差的正弦函数． 【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值． 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinβ=sin[（α+β）﹣α]的值． 【解答】解：∵已知α∈（0，），β∈（0，），且cosα=，cos（α+β）=﹣， ∴sinα==，sin（α+β）==， 则sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα =?﹣（﹣）?=， 故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题． 15. （坐标系与参数方程选讲选做题）在极坐标系中，设曲线与的交点分别为，，则线段的垂直平分线的极坐标方程为         . 参考答案： 试题分析：曲线的普通方程为，曲线的普通方程为，所以的方程为，又易知的垂直平分线斜率为，经过圆的圆心，所以的垂直平分线的方程为，即为，或化成． 考点：1、极坐标方程与直角坐标方程互化；2、两圆的公共弦所在直线方程． 16. 实数x，y满足则的最小值为　　． 参考答案： 【考点】7C：简单线性规划． 【分析】由约束条件作出可行域，再由的几何意义，即可行域内的动点与原点连线的斜率求解． 【解答】解：由约束条件作出可行域如图： 联立，解得A（4，2）， 由图可知，的最小值为． 故答案为：． 17. 已知等比数列{an}中，a1+a3=，则a6=　　． 参考答案： 【考点】等比数列的通项公式． 【分析】根据条件列出关于a1和q的方程组，解得即可． 【解答】解：∵a1+a3=， ∴， 解得q=，a1=2， ∴a6=2×（）5=， 故答案为： 【点评】本题考查等比数列的定义，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分12分）（理）已知数列｛an}满足：a1＝1，＝2(n十1)an＋n（n＋1），（）， （1）若，试证明数列｛bn}为等比数列； （2）求数列｛an}的通项公式an与前n项和Sn． 参考答案： (1)， ，即， ,是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由(1)知  ∴ . 令， 则， 两式相减得：， . ∴. 19. 已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|﹣＜x≤2}． （1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？ （2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】集合的相等；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】计算题． 【分析】（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解 （2）p?q得A?B且A≠B，转化为集合的关系求解． 【解答】解：（1）若A=B显然a=0时不满足题意 当a＞0时∴ 当a＜0时显然A≠B 故A=B时，a=2 （2）p?q得A?B且A≠B 0＜ax+1≤5?﹣1＜ax≤4 当a=0时，A=R不满足． 当a＞0时，则 解得a＞2 当a＜0时，则 综上p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是a＞2，或a＜﹣8 【点评】本题考查集合间的关系，一般化为元素间的关系求解． 20. 已知，各项均为正数的数列满足，若，则      . 参考答案： 略 21. 给定正整数，若项数为的数列满足：对任意的，均有（其中），则称数列为“Γ数列”． （Ⅰ）判断数列和是否是“Γ数列”，并说明理由； （Ⅱ）若为“Γ数列”，求证：对恒成立； （Ⅲ）设是公差为的无穷项等差数列，若对任意的正整数， 均构成“Γ数列”，求的公差． 参考答案： （Ⅰ）①因为，数列不是“数列”，  ---------------------------------2分 ②因为，又是数列中的最大项         所以数列是“数列”.            ----------------------------------------------4分 （Ⅱ）反证法证明： 假设存