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湖北省荆门市草场中学2022-2023学年高三数学文下学期期末试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 平面向量与的夹角为60°,,则等于 ( )
A. B.2 C.4 D.12
参考答案:
B
略
2. 已知两条直线:y=m 和:y=(m>0),与函数的图像从左至右相交于点A,B,与函数的图像从左至右相交于C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,的最小值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
3. 若全集,则集合等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
D
4. 在△A BC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,,则cosB等于( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由c=2a,利用正弦定理化简已知等式可得:b2﹣a2=ac=a2,利用余弦定理即可求得cosB的值.
【解答】解:∵若c=2a,,
∴则由正弦定理可得:b2﹣a2=ac=a2,即:,
∴.
故选:A.
5. 函数的大致图象是( )
参考答案:
D
6. 设F为抛物线的焦点,与抛物线相切于点P(-4,-4)的直线与x轴的交点为Q,则等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
参考答案:
D
略
7. 已知复数,映射,则的原象是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
8. 若复数(是虚数单位)是纯虚数,则实数的值为( )
A.-2 B. C. D.2
参考答案:
C
,且是纯虚数,,故选C.
9. 设是双曲线的两个焦点, 是上一点,若且的最小内角为,则的离心率为( ) .
A. B. C. D.
参考答案:
D
10. 一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )
A.5π B.9π C.16π D.25π
参考答案:
D
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;规律型;转化思想;空间位置关系与距离.
【分析】判断几何体的形状,求出球的半径,然后求解球的表面积.
【解答】解:由三视图可知,该几何体为底面直径为3,高为4的圆柱与它的外接球组成的几何体,球的直径为5,所以表面积为25.
故选:D.
【点评】本题考查三视图与几何体的关系,几何体的外接球的表面积的求法,考查计算能力.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 平面向量与的夹角为,,,则 .
参考答案:
【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识.
【知识内容】图形与几何/平面向量的坐标表示/向量的度量计算.
【试题分析】因为,所以,又因为,与的夹角为60°,所以.因为,所以,故答案为.
12. 设函数,则=__________;若,则x的取值范围是___________
参考答案:
,
13. 已知为单位向量,,则____________.
参考答案:
23
略
14. 在数列中,,则_________.
参考答案:
略
6、在数列中a= -13,且3a=3a -2,则当前n项和s取最小值时n的值是 。
参考答案:
20
16. 已知变量x,y满足约束条件则z=4x·2y的最大值为 。
参考答案:
略
17. 如果函数f(x)=ax2+2x﹣3在区间(﹣∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[﹣]
【考点】二次函数的性质.
【分析】①当a=0时,f(x)=2x﹣3在(﹣∞,4)上单调递增,②当a≠0时,则实数a满足,可求.
【解答】解:①当a=0时,f(x)=2x﹣3在(﹣∞,4)上单调递增,满足题意
②当a≠0时,若使得函数f(x)=ax2+2x﹣3在区间(﹣∞,4)上是单调递增,
则实数a满足,解可得
综上可得,
故答案为[﹣]
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. 等腰△ABC的底边,高CD=3,点E是线段BD上异于点B,D的动点.点F在BC边上,且EF⊥AB.现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置,使PE⊥AE.
(Ⅰ)证明EF⊥平面PAE;
(Ⅱ)记BE=x,V(x)表示四棱锥P﹣ACFE的体积,求V(x)的最值.
参考答案:
【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LW:直线与平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)证明EF⊥PE,而AB∩PE=E,EF⊥AB,即可证明EF⊥平面PAE;
(Ⅱ)记BE=x,V(x)表示四棱锥P﹣ACFE的体积,求出底面面积,可得体积,即可求V(x)的最值.
【解答】(Ⅰ)证明:∵EF⊥AB,∴∠BEF=∠PEF=90°,
故EF⊥PE,而AB∩PE=E,
所以EF⊥平面PAE.
(Ⅱ)解:∵PE⊥AE,PE⊥EF,
∴PE⊥平面ABC,即PE为四棱锥P﹣ACFE的高.
由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD,∴,
由题意知
∴=.
而PE=EB=x,∴,
∴当x=6时V(x)max=V(6)=.
19. 如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中,.
(Ⅰ)求的长;
(Ⅱ)求点到平面的距离.
参考答案:
解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则,
设. …………1分
∵为平行四边形,
…………3分
…………5分
(II)设为平面的法向量,
………8分
的夹角为,则
∴到平面的距离为 ………12分
20. 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数);以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=.
(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;
(2)是判断曲线C1与C2是否存在两个交点,若存在求出两个交点间的距离;若不存在,说明理由.
参考答案:
【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程.
【专题】坐标系和参数方程.
【分析】(1)直接把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程.
(2)利用(1)的结论进一步联立方程组根据判别式和根和系数的关系,求出弦长.
【解答】解:(1)对于曲线曲线C1的参数方程,转化成直角坐标方程为:x+y=1,
对于曲线C2的极坐标方程转化成直角坐标方程为:.
(2)显然曲线C1:x+y=1,则其参数方程可写为①(t为参数)与曲线C2:②联立,得到: t2﹣6t+4=0,
所以:可知△>0,所以C1与C2存在两个交点,
由,,
得.
【点评】本题考查的知识要点:参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化,判别式的应用,根和系数的关系的应用,弦长公式的应用,属于基础题型.
21.
本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形是矩形,四边形是
梯形,平面//,,
,.
(Ⅰ)求证://平面;
(Ⅱ)求证:平面.
参考答案:
证明:(Ⅰ)连接.因为//,//
所以//……………………………2分
又 所以 四边形是平行四边形 所以//………………… 4分
又平面,平面 所以//平面.………… 6分
(Ⅱ)取的中点,连接,则.又//,故四边形是平行四边形.
所以所以是直角三角形,所以⊥…………8分
又 所以⊥ ………………………11分
又,,所以………12分
22. 已知数列的相邻两项是关于x的方程的两根,且。
(1) 求证:数列是等比数列;
(2) 求数列的前n项和;
(3) 设函数,若对任意的都成立,求t的取值范围。
参考答案:
略
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