湖北省荆门市蔡庙中学高一数学文模拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，正方体的棱线长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是 ( ）
A．
B．
C．三棱锥的体积为定值
D．
参考答案：
D
2. 某简单几何体的三视图如图所示，其正视图．侧视图．俯视图均为直角三角形，面积分别是1，2，4，则这个几何体的体积为 ( )
A． B．
C．4 D．8
参考答案：
A
略
3. 函数的零点所在的区间是
A. B. (1,2) C. D. (2,4)
参考答案：
B
4. 函数的零点所在区间为( )
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
5. 设f（x）=ex﹣2，则函数f（x）的零点位于区间（ ）
A．（0，1） B．（﹣1，0） C．（1，2） D．（2，3）
参考答案：
A
【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由函数的解析式可得f（0）＜0，f（1）＞0，根据函数零点的判定定理可得，可得函数f（x）的零点
所在的区间．
【解答】解：∵f（x）=ex﹣2，可得f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣2＞0，
根据函数零点的判定定理可得，函数f（x）的零点位于区间（0，1）上，
故选A．
【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．
6. 已知为三条不重合的直线，为三个不重合的平面，下列四个命题：
①. ②.
③.④.
其中正确命题的个数为（ ）
参考答案：
7. 已知，则化简的结果为（ ）
A． B. C． D. 以上都不对
参考答案：
C
略
8. 把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为( )
A．3 cm B．6 cm
C．8 cm D．12 cm
参考答案：
B
略
9. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其侧面积等于（ ）
A． B．2 C．2 D．6
参考答案：
D
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】本题考查立体几何中的三视图，考查同学们识图的能力、空间想象能力等基本能力．由图可知，棱柱的底面边为2，高为1，代入柱体体积公式易得答案．
【解答】解：由正视图知：
三棱柱是以底面边长为2，
高为1的正三棱柱，
∴底面是边长为2的等边三角形，故底面积S==，
侧面积为3×2×1=6，
故选D．
10. 已知函数的零点为，则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
C
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），P为线段AD（含端点）上一个动点，设，对于函数y=f（x），给出以下三个结论：①当a=2时，函数f（x）的值域为[1，4]；②对于任意的a＞0，均有f（1）=1；③对于任意的a＞0，函数f（x）的最大值均为4．其中所有正确的结论序号为 ．
参考答案：
②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】通过建立如图所示的坐标系，可得y=f（x）==（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．x∈[0，1]．通过分类讨论，利用二次函数的单调性即可判断出．
【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．∵在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=2，CD=1，BC=a（a＞0），
∴B（0，0），A（﹣2，0），D（﹣1，a），C（0，a）．
∵，（0≤x≤1）．∴=（﹣2，0）+x（1，a）=（x﹣2，xa），
=（0，a）﹣（x﹣2，xa）=（2﹣x，a﹣xa）．
得y=f（x）==（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．x∈[0，1]．
①当a=2时，y=f（x）=5x2﹣8x+4=5（x﹣）+．
∵0≤x≤1，∴当x=时，f（x）取得最小值；
又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．
综上可得：函数f（x）的值域为[，4]．
因此①不正确．
②由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．
可得：?a∈（0，+∞），都有f（1）=1成立，因此②正确；
③由y=f（x）=（a2+1）x2﹣（4+a2）x+4．
可知：对称轴x0=，
当0＜a≤时，1＜x0，∴函数f（x）在[0，1]单调递减，因此当x=0时，函数f（x）取得最大值4．
当a时，0＜x0＜1，函数f（x）在[0，x0）单调递减，在（x0，1]上单调递增．
又f（0）=4，f（1）=1，∴f（x）max=f（0）=4．因此③正确．
综上可知：只有②③正确．
故答案为：②③．
12. 方程解集为 ．
参考答案：
{（2，1）}
【考点】函数的零点．
【专题】计算题；方程思想；函数的性质及应用．
【分析】加减消元法求得y=1；再代入求x即可．
【解答】解：∵，
①×2﹣②得，
5y=5，故y=1；
代入可解得，x=2；
故方程解集为{（2，1）}；
故答案为：{（2，1）}．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法．
13. 已知，则= ．
参考答案：
略
14. （5分）设M为坐标平面内一点，O为坐标原点，记f（x）=|OM|，当x变化时，函数 f（x）的最小正周期是 ．
参考答案：
15
考点： 三角函数的周期性及其求法．
专题： 计算题；三角函数的图像与性质．
分析： 本题考查的知识点是正（余）弦型函数的最小正周期的求法，由M坐标，f（x）=|OM|，代入两点间距离公式，即可利用周期公式求值．
解答： ∵f（x）=|OM|
=
=．
∵ω=．
故T==15．
故答案为：15．
点评： 函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，由周期T=进行求解，本题属于基本知识的考察．
15. 函数f（x）=2x﹣1在x∈[0，2]上的值域为 ．
参考答案：
[﹣1，3]
【考点】函数的值域．
【分析】利用已知条件直接求解即可．
【解答】解：函数f（x）=2x﹣1，是增函数，x∈[0，2]的值域为：[﹣1，3]．
故答案为：[﹣1，3]．
16. 若是奇函数，且在区间上是单调增函数，又，则的解集为_________.
参考答案：
略
17. 高一某研究性学习小组随机抽取了100名年龄在10岁到60岁的市民进行问卷调查，并制作了频率分布直方图（如图），从图中数据可知a=__,现从上述年龄在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，则在[20,30)年龄段抽取的人数应为__
参考答案：
0035 10
【分析】
根据频率之和为1，结合频率分布直方图中数据，即可求出的值；根据分层抽样确定抽样比，进而可求出抽取的人数.
【详解】由题意可得，，解得；
因为在20岁到50岁的市民中按年龄段采用分层抽样的方法抽取30人，20岁到50岁的市民中20岁到30岁所占比例为，
故在年龄段抽取的人数应为.
故答案为(1). 0.035 (2). 10
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数 的图象上相邻两个最高点的距离为π。
（1）求的对称中心。
（2）若在是减函数，求的最大值。
参考答案：
（1）
-------------6分
（2）
------------12分
19. (本题满分12分)已知函数f(x)=2ax+2 (a为常数)
（1）求函数f（x）的定义域
（2）若a> 0,时证明f（x）在R是增函数
（3）当a=1时，求函数y=f（x），x（-1,3]的值域
参考答案：
（1）函数f（x）=2ax+2对任意实数都有意义，所以定义域为R …………2分
（2）任取x1，x2R，且x1
0得ax1+22m－1，则m<2；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，可得，解得2≤m≤3.
综上可得，实数m的取值范围是（－∞，3]．
（2）当x∈Z时，A＝{x|－2≤x≤5}＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.
（3）当B＝?时，由（1）知m<2；当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得，
或，解得m>4.
综上可得，实数m的取值范围是（－∞，2）∪（4，＋∞）．
22. （本题12分） 对于函数
(1) 判断函数的单调性并给出证明；
(2) 若存在实数使函数是奇函数，求；
(3）对于（2）中的，若，当恒成立，求m的最大值.
参考答案：
