湖北省荆门市东宝区盐池第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析

湖北省荆门市东宝区盐池第一中学高三数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知四棱锥的俯视图是边长为2的正方形及其对角线（如右图），若它的主视图与左视图都是边长为2的正方形，则这个四棱锥的体积为(     ) A.        B.        C.       D.   参考答案： D 2. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1、a2、…、aN，输出A、B，则（    ）     A．A+B为a1,a2,…,aN的和        B．为a1,a2,…,aN的算术平均数     C．A和B分别是a1,a2,…,aN中最大的数和最小的数     D．A和B分别是a1,a2,…,aN中最小的数和最大的数 参考答案： C 3. 已知集合,.若,则实数的值是（ ☆ ）   A.              B.或 C.            D.或或 参考答案： B 4. 已知是方程的根，是方程的根，则（   ）     A．2009              B．2010        C．2011              D．2012 参考答案： D 方程为， 方程为。 如图所示，C（，），D（，）。            因为与关于直线对称，            也关于直线对称， C（，），D（，）两点关于直线对称，且与直线垂直。 从而，整理得， 而，所以，故选择D。 5. 设集合，则（  ） A．         B．       C．或       D． 参考答案： B 6. 已知且，则函数与函数的图像可能是（     ） A．         B．       C.         D． 参考答案： B 7. 已知点关于直线的对称点为,则圆关于直线对称的圆的方程为    A.        B. C.        D. 参考答案： A 8. 已知:命题：“是的充分必要条件”； 命题：“”.则下列命题正确的是（  ） A．命题“∧”是真命题        B．命题“（┐）∧（┐）”是真命题 C．命题“∧（┐）”是真命题  D．命题“（┐）∧”是真命题 参考答案： D 9. 设集合，，记为同时满足下列条件的集合的个数：①；②若，则；③若，则．则 A．2                B．3            C．4                D．5 参考答案： C 10. 命题“对任意为真命题”是“”的（    ）        A．  充要条件                                          B．必要不充分            C．  充分不必要                                      D既不充分也不必要 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 集合的真子集的个数是__________个. 参考答案： 7 12. 已知双曲线C1：的左准线为，左、右焦点分别为F1、F2，抛物线C2的准线为，焦点是F2，若C1与C2的一个交点为P，则的值等于        参考答案： 答案：32 13. 过原点O作圆x2+y2?－6x－8y＋20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为             。 参考答案： 4 解析：可得圆方程是又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得 14. 函数f(x)=的值域为___         ______。 参考答案： 15. 函数的最小正周期是 . 参考答案： 答案：  16. 设不等式组在直角坐标系中所表示的区域的面积为，则当时，的最小值为　　　　　　． 参考答案： 17. 已知圆：，直线被圆截得的弦长是             ． 参考答案： 解析：圆心，半径，弦心距。弦长 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数. （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若，且在区间内存在极值，求整数的值. 参考答案： 解：（Ⅰ）由已知.      …………………………（ 1 分 ）         当时，函数在内单调递增；………（2分）         当时，由得∴；……………（3分） 由得∴.……………………（4分）         ∴在内单调递增，在内单调递减.…………（5分） （Ⅱ）当时，   ∴………………………………………（6分） 令， 则∴在内单调递减.……………………（8分） ∵     …………………………（9分） ∴即在（3,4）内有零点，即在（3,4）内存在极值.                                 …………………………………（11分）      又∵在上存在极值，且，∴k =3.  ………………………（1 2 分 ）       略 19. （本题12分）已知函数为偶函数． (Ⅰ)求的最小值； (Ⅱ)若不等式恒成立，求实数m的最小值. 参考答案： 解：(Ⅰ) 由题意得， 即在R上恒成立， 整理得()(=0在R上恒成立, 解得， ∴． 设， 则 ， ∵， ∴, ∴, ∴， ∴在上是增函数． 又为偶函数， ∴在上是减函数． ∴当时， 取得最小值2. (Ⅱ)由条件知 ． ∵恒成立， ∴ 恒成立． 令 由(Ⅰ)知， ∴时， 取得最大值0， ∴, ∴实数的最小值为．   20. （本小题满分14分）已知函数f(x)=，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0． 其中e =2.71828…为自然对数的底数． （Ⅰ）求a，b的值； （Ⅱ）如果当x≠0 时，f(2x)＜，求实数k的取值范围． 参考答案： （Ⅰ）a=b=1；（Ⅱ） 【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程．B11 解析：（Ⅰ）f?(x)=，                           ………1分 由函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程为x+(e–1)2y–e=0， 知1+(e–1)2 f(1)–e=0，即f(1)==， f?(1)===–．                 ………3分 解得a=b=1．                                               ………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=， 所以f(2x)＜?＜?–＜0 ?[xex–(e2x–1)]＜0．                   ………7分 令函数g(x)=xex–(e2x–1)（x∈R）， 则g?(x)=ex+xex–(1–k)e2x=ex(1+x–(1–k)ex)．                     ………8分 （ⅰ）设k≤0，当x≠0时，g?(x)＜0，∴g(x)在R单调递减．而g(0)=0， 故当x∈(–∞，0)时，g(x)＞0，可得g(x)＜0； 当x∈(0，+∞)时，g(x)＜0，可得g(x)＜0， 从而x≠0时，f(2x)＜． （ⅱ）设k≥1，存在x0＜0，当x∈(x0，+∞)时，g?(x)＞0，g(x)在(x0，+∞)单调递增． 【思路点拨】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得切点和切线的斜率，解方程可得a=b=1；（Ⅱ）f（x）=，即有f（2x）＜?[xex﹣（e2x﹣1）]＜0,令函数g（x）=xex﹣（e2x﹣1）（x∈R），求出导数，对k讨论，①设k≤0，②设k≥1，③设0＜k＜1，分析导数的符号，判断函数的单调性，即可得到k的范围 21. （本小题满分15分）在平面直角坐标系中，给定三点，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项。 （1）求点P的轨迹方程； （2）若直线L经过的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求 L的斜率k的取值范围。 参考答案： （1）直线AB、AC、BC的方程依次为。点到AB、AC、BC的距离依次为。依设，，即，化简得点P的轨迹方程为圆S： （2）由前知，点P的轨迹包含两部分 圆S：        ① 与双曲线T： ② 因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。 的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为 ③ （i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线平行于x轴，表明L与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 （ii）当时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况： 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率，直线L的方程为。代入方程②得，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。 故当时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 情况2：直线L不经过点B和C（即），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得 该方程有唯一实数解的充要条件是 ④ 或 ⑤ 解方程④得，解方程⑤得。 综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集。 22. （本小题满分12分）已知向量；令 （Ⅰ）求解析式及单调递增区间； （Ⅱ）若，求函数的最大值和最小值； （Ⅲ）  若=，求的值． 参考答案：    …2分 当，，即：时， 单调递增，      增区间为：，                              …5分 （Ⅱ）由得，       当时当时，                    …9分 （3），      所以。                          …12分