湖北省荆门市钟祥市张集中学高三数学理月考试题含解析

湖北省荆门市钟祥市张集中学高三数学理月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 非零向量使得成立的一个充分非必要条件是 A． B． C． D． 参考答案： B 要使,则共线,且方向相反,且,所以选B． 2. i为虚数单位，复数=（　　） 　 A． 2+i B． 2﹣i C． i﹣2 D． ﹣i﹣2 参考答案： 考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 计算题． 分析： 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数1﹣i，化简为a+bi（a，b∈R）的形式即可． 解答： 解：因为===2﹣i 故选B． 点评： 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，同时考查了运算能力，属于基础题． 3. 已知函数是上的偶函数，且在区间是单调递增的，若，，，则下列不等式中一定成立的是（    ）                      A．   B．   C．    D． 参考答案： D 略 4. 展开式中不含项的系数的和为（  ）高☆考♂资♀源*网 （A）-1       （B）0        （C）1       （D）2 参考答案： B 5. 设函数，若不等式在[－2,+∞)上有解，则实数a的最小值为（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： C 在上有解在上有解． 令， 则， ∵， ∴当时，，在区间上单调递减； 当时，在区间上单调递增； ∴当时，取得极小值，也是最小值， ∴，∴，故选C.   6. 设为平面，为直线，则的一个充分条件是（    ） A．        Ｂ． Ｃ．           Ｄ． 参考答案： D 7. 双曲线与抛物线相交于A,B两点， 公共弦AB恰好过它们的公共焦点F，则双曲线C的离心率为 （A）      （B）       （C）      （D） 参考答案： B 8. 下列说法中正确的是（　　） A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越小 B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做函数关系 C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越弱 D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小 参考答案： D 【考点】相关系数． 【分析】分别根据变量相关的定义和性质分别进行判断即可得到结论． 【解答】解：A．若分类变量X和Y的随机变量K2的观测值k越大，则“X与Y相关”的可信程度越大，∴A错误． B．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值具有一定的随机性，x，y间的这种非确定关系叫做相关关系，∴B错误． C．相关系数r2越接近1，表明两个随机变量线性相关性越强，∴C错误． D．若分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k越小，则两个分类变量有关系的把握性越小，∴D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查变量相关系数的性质，比较基础． 9. 如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何? 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为（   ）尺.    图1 (A)5.45         (B)4.55       (C) 4.2         (D)5.8 参考答案： B 如图，已知AC+AB=10（尺），BC=3（尺）， ， 所以，解得 ， 因此，解得 ， 故折断后的竹干高为4.55尺，∴选B. 10. 过点作直线l与圆交于A，B两点，若P为A，B中点，则直线l的方程为(   ) A. B. C. D. 参考答案： D 【分析】 由点为的中点，等价于，根据垂直关系求得直线的斜率，再根据点斜式，即可求解直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆的圆心为， 若点为的中点，等价于，则，所以直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即，故选D. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用圆的弦的性质，以及直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 过点（3,0）且斜率为的直线被椭圆所截线段的中点坐标为          . 参考答案： 12. 设向量、满足：||=1，||=2，?（）=0，则与的夹角是　    　． 参考答案： 60° 【考点】9R：平面向量数量积的运算． 【分析】根据平面向量的数量积运算，求出cosθ的值，即可求出夹角θ的大小． 【解答】解：由||=1，||=2，?（）=0， ∴﹣?=0， 即12﹣1×2×cosθ=0， 解得cosθ=； 又θ∈， ∴与的夹角θ是60°． 故答案为：60°． 13. 设复数，则 _______________. 参考答案： 【分析】本题考察复数运算中的模的运算，虽然简单，但是方法的选择不同也会带来不同的效果。复数的运算在高考的考核中难度较低，通常是填选的前几个基础问题，重点在于掌握基本的运算法则和复平面的理解。本题中模的运算也可以有两种手段，第一就是直接对复数进行分母实数化处理，从而得到的形式，利用处理，第二种处理方法可以利用复数除法的性质，即，以此直接求解。复数难度不大，掌握基本的方法可以直接求解，若要进行最有效最快速的求解，还需对这部分的常见性质有所掌握。 【解】 方法一：首先进行分母实数化处理，即，则，故填. 方法二：根据复数运算的除法性质，可知，其中，，故，故填. 14. 设函数，若的图象关于直线x=l对称，则a的值为_________． 参考答案： 2 15. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为　　　　　　． 参考答案： 24 考点： 椭圆的简单性质． 专题： 计算题． 分析： 根据椭圆的标准方程求出焦点坐标，利用点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直以及点P在椭圆上，求出点P的纵坐标，从而计算出△PF1F2的面积． 解答： 解：由题意得 a=7，b=2 ， ∴c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0）， 设点P（m，n）， 则 由题意得  =﹣1，+=1， ∴n2=，n=±， 则△PF1F2的面积为  ×2c×|n|=×10×=24， 故答案为：24． 点评： 本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、方程组的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题 16. 在的展开式中常数项的系数是60，则a的值为     ． 参考答案： 2． 解：Tr+1==ar，令3﹣=0，解得r=2． ∴=60，a＞0，解得a=2． 故答案为： 2． 【考点】二项式系数的性质．考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 17. 对于函数， （1）若，则    . （2）若有六个不同的单调区间，则的取值范围为        . 参考答案： 答案：（1）7   （2） 解析： 为偶函数，当时，须有三个不同的单调区间.，， 中，或. 又两根须为正根，且.   三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形， （I）求证：； （II）设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由； （III）求二面角的大小。 参考答案： 解析:解法一： （Ⅰ）因为平面⊥平面,平面， 平面平面， 所以⊥平面 所以⊥. 因为为等腰直角三角形，  ， 所以 又因为， 所以， 即⊥, 所以⊥平面。     ……………………………………4分 （Ⅱ）存在点,当为线段AE的中点时，PM∥平面                 取BE的中点N，连接AN,MN，则MN∥＝∥＝PC                 所以PMNC为平行四边形，所以PM∥CN                 因为CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，                 所以PM∥平面BCE           ……………………………………8分        （Ⅲ）由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD，易知，EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G，则FG∥EA。从而，FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G，连结FH，则由三垂线定理知，BD⊥FH 因此，∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°, 所以∠AFE=90°，∠FAG=45°. 设AB=1,则AE=1,AF=.       FG=AF·sinFAG= 在Rt△FGH中，∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=, GH=BG·sinGBH=·= 在Rt△FGH中，tanFHG= = 故二面角F-BD-A的大小为arctan.       ………………………………12分 解法二: (Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE, 所以AE⊥AB. 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF, 平面ABEF∩平面ABCD=AB, 所以AE⊥平面ABCD. 所以AE⊥AD. 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz. 设AB=1,则AE=1，B（0，1，0），D (1, 0, 0 ) , E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ). 因为FA=FE, ∠AEF = 45°, 所以∠AFE= 90°. 从而，. 所以,,. ,. 所以EF⊥BE, EF⊥BC. 因为BE平面BCE,BC∩BE=B , 所以EF⊥平面BCE.  (Ⅱ) M（0，0，）.P（1, ,0）. 从而=（，）. 于是 所以PM⊥FE，又EF⊥平面BCE，直线PM不在平面BCE内， 故PM∥平面BCE.                                  ………………………………8分 (Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z） =(1，1，0)，      即 去y=1，则x=1，z=3，从=（0，0，3） 取平面ABD的一个法向量为=（0，0，1） 故二面角F-BD-A的大小为.        ……………………………………12分 19. （本小题满分12分） 如图，四棱锥中，平面，底面为正方形，， 为的中点，    （Ⅰ）求证：    （Ⅱ）求三棱锥的体积；    （Ⅲ）边上是否存在一点，使得平面.若存在，求的长；若不存在，说明理由. 参考答案： (Ⅰ)证明：平面，     又∵是正方形       ∴∵ ∴平面           ……………………………3分 又∵面∴ ……………………………4分 (Ⅱ)解：∵平面， ∴是三棱锥的高  ……………………………5分 ∵是的中点            ……………………………6分 ……………………………8分 (Ⅲ)连结，取中点，连结，延长交于点， 则//平面 ……………………………9分 下面证明之 ∵为的中点，是的中点，∴//， ………