湖北省荆州市监利县长江高级中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析

湖北省荆州市监利县长江高级中学2022年高三数学理上学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若x，y满足，则的取值范围是（　　） A．（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞） B．（﹣∞，﹣2]∪[﹣1，+∞） C．[﹣2，﹣1]             D．[﹣4，3] 参考答案： A 【考点】简单线性规划． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义结合直线的斜率公式进行求解即可． 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域， 的几何意义是区域内的点到定点（3，4）的斜率 由图象知z大于等于PA的斜率，z小于等于PB的斜率， ∵A（2，1），B（4，0）， ∴=≥3；则=≤﹣4， 即，（﹣∞，﹣4]∪[3，+∞）． 故选：A． 2. 一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分。已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（     ） 　（A）7种　　　　　　（B）13种　　　　（C）18种　　　（D）19种 参考答案： D 3. 在正三棱锥(底面是正三角形,顶点在底面的射影是底面三角形的中心的三棱锥)O-ABC中， OA，OB，OC三条侧棱两两垂直，正三菱锥O-ABC的内切球与三个侧面切点分别为D，E，F，与底面ABC切于点G,则三棱锥G-DEF与O-ABC的体积之比为（    ） A．         B．       C.          D． 参考答案： B 法一:设正三棱锥侧棱长为,内切球半径为,内切球的球心为,则,，， 解得.如下图， 把面单独拿出来分析: 为的中心，，， ，，过作于， 则,，，，显然为等边三角形，. .故选. 法二:设正三棱锥侧棱长为,内切球半径为,内切球的球心为,则 ，解得.如下图， 由,,,得平面，又由平面得,同理，，因为两两垂直,所以两两垂直,故，.点到平面的距离. .故到平面的距离为，所以. .故选. 4. 设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为，则三棱锥D - ABC体积的最大值为 A． B． C． D． 参考答案： B 解答： 如图，为等边三角形，点为，，，外接球的球心，为的重心，由，得，取的中点，∴，∴，∴球心到面的距离为，∴三棱锥体积最大值.   5. 某次演出共有6位演员参加，规定甲只能排在第一个或最后一个出场， 乙和丙必须排在相邻的顺序出场，请问不同的演出顺序共有（   ） A. 24种 B. 144种 C. 48种 D. 96种 参考答案： D 【分析】 先安排甲有2种方案，再安排乙和丙有种方案，最后安排剩余的三个演员有种方案，根据分步计数原理可得. 【详解】第一步，先安排甲有种方案；第二步，安排乙和丙有种方案；第三步，安排剩余的三个演员有种方案，根据分步计数原理可得共有种方案.故选D. 【点睛】本题主要考查计数原理，先明确是利用分步计数原理还是分类计数原理，再求解每一步不同的方案，特殊元素，特殊位置优先考虑安排，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养. 6. 在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限             B．第二象限 C．第三象限             D．第四象限 参考答案： A 7. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图2所示，则该“堑堵”的表面积为 （   ）     A．          B．          C.         D． 参考答案： B 由三视图知，该几何体是底面为斜边边长为2的等腰直角三角形、高为2的直三棱柱，所以该几何体的表面积为：，故选B． 8. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是BC1、CD1的中点，则下列说法错误的是（　　） A．MN∥AB B．MN⊥AC C．MN⊥CC1 D．MN∥平面ABCD 参考答案： A 【考点】空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】先利用三角形中位线定理证明MN∥BD，再利用线面垂直的判定定理定义证明MN与CC1垂直，由异面直线所成的角的定义证明MN与AC垂直，即可得出结论． 【解答】解：如图：连接C1D，BD， ∵A1B1与BD异面，MN∥BD，∴MN与A1B1不可能平行，A错误 ∵AC⊥BD，MN∥BD，∴MN与AC垂直，B正确； ∵CC1⊥平面ABCD，∴CC1⊥BD，∴MN与CC1垂直，故C正确； 在三角形C1DB中，MN∥BD，故MN∥平面ABCD，D正确． 故选：A 9. 已知点在角的终边上，且，则的值为 A.            B.            C.        D. 参考答案： C 略 10. 已知点的最小值是     （    ）     A．3    B．-3   C．  D． 参考答案： D 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最小值与最大值的和为　　． 参考答案： 30 【考点】简单线性规划． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值． 【解答】解：作出可行域，如图所示： 由z=2x+3y，得y=， 平移直线y=，由图象可知当直线y=经过x+y=3与2x﹣y=3的交点（2，1）时，有最小值2×2+3=7， 经过x﹣y+1=0与2x﹣y=3的交点（4，5）时，有最大值2×4+3×5=23， 则最小值与最大值的和为7+23=30． 故答案为：30． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 12. 已知函数 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在闭区间上的最大值和最小值． 参考答案： 略 13. 已知x，y满足（k为常数），若z=x+2y最大值为8，则k=　　． 参考答案： 【考点】简单线性规划． 【分析】由目标函数z=x+3y的最大值为8，我们可以画出满足条件的平面区域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k的方程组，消参后即可得到k的取值． 【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示： ， 由，解得A（，）， 将z=x+2y转化为：y=﹣x+， 显然直线过A（，）时，z最大， z的最大值是： +k=8，解得：k=， 故答案为：． 14. 如图，已知中，弦,为直径.     过点作的切线，交的延长线于点，.则____ . 参考答案： 略 15. 在中，，则          。 参考答案： 16. 若复数满足为虚数单位，则＿＿＿＿＿＿＿. 参考答案： 17. 线性方程组的增广矩阵是　   　． 参考答案： 【考点】几种特殊的矩阵变换． 【分析】首先要知道增广矩阵的定义增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值然后直接求解可得． 【解答】解：由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值 可直接写出增广矩阵为． 故答案为． 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且成等比数列。（1）求数列的通项公式； （2）设数列的最小项是第几项，并求出该项的值。 参考答案： 【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式．菁D2 D3 （1）；（2）见解析   解析：（1）设公差为，则有， 即或（舍）， (2)， ，当且仅当时取号，即 时取号。 【思路点拨】（（1）根据等差（等比）数列对应的前n项和、通项公式和性质，列出关于a1和d方程，进行求解然后代入通项公式；（2）由（1）的结果求出Sn，代入bn进行化简后，利用基本不等式求出最小项以及对应的项数． 19. （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数，其中常数a > 0． (1) 当a = 4时，证明函数f(x)在上是减函数； (2) 求函数f(x)的最小值． 参考答案： (1) 当时，，…………………………………………1分 任取00，即f(x1)>f(x2)………………………………………5分 所以函数f(x)在上是减函数；………………………………………………………6分 (2)，……………………………………………………7分 当且仅当时等号成立，…………………………………………………………8分 当，即时，的最小值为，………………………10分 当，即时，在上单调递减，…………………………………11分 所以当时，取得最小值为，………………………………………………13分 综上所述： ………………………………………14分 20. （本小题满分15分）已知某公司生产品牌服装的年固定成本为10万元，每生产千件，须另投入2.7万元。设该公司年内共生产品牌服装千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且 （1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？ 参考答案： （1）当时，； 当时，，            …………………………………6分 （2）①当时，，得， 当时， ；当时，， 所以当时，取得最大值，且；………9分 ②当时，， 当且仅当时，，故当时，取最大值38。     ………12分 综合①②知，当时，取得最大值． 所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大………15分 21. （本小题满分12分）设向量 （Ⅰ）若求的值； （Ⅱ）设函数，求的值域. 参考答案： 解：（Ⅰ）由              由题意，得                                         …………3分 又，从而，所以                        …………6分   （Ⅱ）                                                                 …………9分 由，得 故 当，即时，    当，即时，  故的值域为                                      …………12分 略 22. （本小题满分12分）如图：在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，点M，N分别为BC，PA的中点，且 （1）证明：平面AMN； （2）求三棱锥N的体积； （3）在线段PD上是否存在一点E，使得平面 ACE；若存在，求出PE的长，若不存在，说明理由 参考答案： 证明：(1) 因为ABCD为菱形，所以AB=BC            又，所以AB=BC=AC，   ………1分 又M为BC中点，所以        …… 2分 而平面ABCD，平面ABCD,所以… 3分 又，所以平面         … 4分 （2）因为     … 5分 又底面  所以         所以，三棱锥的体积          … 7分                …… 8分 (3)存在        … 9分          取P