湖北省荆门市毛李中学2022年高三数学理期末试题含解析

湖北省荆门市毛李中学2022年高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 下列函数在（0，+∞）上为减函数的是（　　） A．y=cosx B．y=﹣x2+2x C． D．y=e﹣x 参考答案： D 【考点】函数单调性的判断与证明． 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A、y=cosx为余弦函数，单调递减区间为（2kπ，2kπ+π），在（0，+∞）上不是减函数，不符合题意； 对于B、y=﹣x2+2x是二次函数，单调递减区间为（1，+∞），不符合题意； 对于C、y=（x﹣1）的定义域为（1，+∞），在（0，+∞）上不是减函数，不符合题意； 对于D、y=e﹣x=（）x，为指数函数，在R上递减，符合题意； 故选：D． 　 2. 设复数满足,则复数的共轭复数是（     ）. A．      B.        C．         D. 参考答案： B 略 3. 已知函数若，则等于（   ） A．6             B．         C．4              D．-6 参考答案： C 4. 函数（且 ）的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最大值为（    ） A．        B．       C．       D． 参考答案： A 5. 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则一定有（    ）     A．                 B．                 C．                 D．   参考答案： B 略 6. 二项式展开式中，x的幂指数是整数的项共有 A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 参考答案： C 略 7. 下列4个命题： ①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”； ②若“?p或q”是假命题，则“p且?q”是真命题； ③若p：x（x﹣2）≤0，q：log2x≤1，则p是q的充要条件； ④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则?p：任意x∈R，均有2x≥x2； 其中正确命题的个数是(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】简易逻辑． 【分析】直接写出命题的逆否命题判断①；由复合命题的真假判断判定②；求解不等式，然后结合充要条件的判断方法判断③；直接写出特称命题的否定判断④． 【解答】解：①命题“若x2﹣x=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣x≠0”，①正确； ②若“?p或q”是假命题，则?p、q均为假命题，∴p、?q均为真命题，“p且?q”是真命题，②正确； ③由p：x（x﹣2）≤0，得0≤x≤2， 由q：log2x≤1，得0＜x≤2，则p是q的必要不充分条件，③错误； ④若命题p：存在x∈R，使得2x＜x2，则?p：任意x∈R，均有2x≥x2，④正确． ∴正确的命题有3个． 故选：C． 【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定、逆否命题，训练了充分必要条件的判断方法，是基础题． 8. 设，则 A. B. C. D. 参考答案： 9. 对于数集A，B，定义若集合A={1,2}，则集合中所有元素之和为 A、 B、 C、 D、 参考答案： D 10. 已知函数的周期为4，且当时， 其中．若方程恰有5个实数解，则的取值范围为            (     )   A．     B．     C．     D． 参考答案： B 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 点M（2，1）到直线的距离是　　． 参考答案： 【考点】点到直线的距离公式． 【专题】计算题． 【分析】利用点到直线的距离公式即可求得答案． 【解答】解：设点M（2，1）到直线l： x﹣y﹣2=0的距离为d， 由点到直线的距离公式得：d==． 故答案为：． 【点评】本题考查点到直线的距离公式，属于基础题． 12. （4分）若无穷等比数列{an}的各项和等于公比q，则首项a1的取值范围是　　． 参考答案： ﹣2＜a1≤且a1≠0 考点：等比数列的通项公式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由题意易得=q，可得a1=﹣（q﹣）2+，由二次函数和等比数列的性质可得． 解答：解：∵无穷等比数列{an}的各项和等于公比q， ∴|q|＜1，且=q， ∴a1=q（1﹣q）=﹣q2+q=﹣（q﹣）2+， 由二次函数可知a1=﹣（q﹣）2+≤， 又等比数列的项和公比均不为0， ∴由二次函数区间的值域可得： 首项a1的取值范围为：﹣2＜a1≤且a1≠0 故答案为：﹣2＜a1≤且a1≠0 点评： 本题考查等比数列的各项和，涉及二次函数的最值，属基础题． 13. .若实数x，y满足则z=-x+5y的最小值为______． 参考答案： 12 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移法进行求解即可． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由得 ，平移直线 由图像知当直线经过点时，直线截距最小此时最小， 由 得 ，得 ， 则z的最小值为-3+5×3=12， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 14. 设△ABC的内角为A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则=       ． 参考答案： ﹣1 【考点】解三角形；平面向量数量积的运算． 【专题】综合题． 【分析】先利用正弦定理及和角的三角函数，可求cosA的值，进而可求sinA，利用三角形的面积，求得bc．利用向量的数量积公式，即可得到结论． 【解答】解：∵（3b﹣c）cosA=acosC∴由正弦定理，可得：3sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC ∴3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA ∴3sinBcosA=sin（A+C）=sinB ∴cosA=，sinA= ∵ ∴bcsinA=bc= ∴bc=3 ∵cosA=， ∴cos＜＞=﹣ ∴=bccos＜＞=﹣1 故答案为：﹣1 【点评】本题考查正弦定理，考查三角形的面积公式，解题的关键是利用正弦定理，进行边角互化． 15. 当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是　　． 参考答案： [﹣6，﹣2] 【考点】函数恒成立问题．  【专题】导数的综合应用． 【分析】分x=0，0＜x≤1，﹣2≤x＜0三种情况进行讨论，分离出参数a后转化为函数求最值即可，利用导数即可求得函数最值，注意最后要对a取交集． 【解答】解：当x=0时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立； 当0＜x≤1时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥， 令f（x）=，则f′（x）=﹣++=﹣（*）， 当0＜x≤1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上单调递增， f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6； 当﹣2≤x＜0时，ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣， 由（*）式可知，当﹣2≤x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2； 综上所述，实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2，即实数a的取值范围是[﹣6，﹣2]． 故答案为：[﹣6，﹣2]． 【点评】本题考查利用导数研究函数的最值，考查转化思想、分类与整合思想，按照自变量讨论，最后要对参数范围取交集．若按照参数讨论则取并集，是中档题． 16. 设，式中变量x、y满足下列条件            则z的最大值为                . 参考答案： 11 17. 对于函数，给出下列五个命题：①存在，使；②存在，使；③存在，函数的图像关于坐标原点成中心对称；④函数的图像关于对称；⑤函数的图像向左平移个单位就能得到的图像，其中正确命题的序号是_________ 参考答案： ③④ 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. (本题满分16分) 设数列的前n项和为，且满足，n=1,2,3,…….    （1）求数列的通项公式；    （2）若数列满足，且，求数列的通项公式；    （3）设，求数列的前n项和. 参考答案： .解：(1)当n=1时，，所以         当n≥2时， ，且         所以 得：         则数列是以1为首项，为公比的等比数列，          所以：数列的通项公式是 。  (2)   由 且    所以：， 则：，，?? ?， 以上n-1个等式叠加得：          则：＝2－，又           所以： (3) 略 19. 已知函数，曲线在处的切线经过点. （1）证明：； （2）若当时，，求的取值范围. 参考答案： （1）曲线在处的切线为，即 由题意得，解得 所以 从而 因为当时，，当时，. 所以在区间上是减函数，区间上是增函数， 从而. （2）由题意知，当时，，所以 从而当时，， 由题意知，即，其中 设，其中 设，即，其中 则，其中 （1）当时，因为时，，所以是增函数 从而当时，， 所以是增函数，从而. 故当时符合题意. （2）当时，因为时，， 所以在区间上是减函数 从而当时， 所以在上是减函数，从而 故当时不符合题意. （3）当时，因为时，，所以是减函数 从而当时， 所以是减函数，从而 故当时不符合题意 综上的取值范围是. 20. 如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角. (Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积. (Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.         参考答案： 略 21. (本小题满分12分)若数列的前项和满足,等差数列满足. (1)求数列、的通项公式; (2)设,求数列的前项和为. 参考答案： （1）当时, ,∴              当时, , 即  ∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,∴ ，   ……………4分   设的公差为 ∴                            ………………………6分 （2），    ① ②                       ………………………8分 由①②得，                                      ………………………12分 22. （12分）设函数． （1）求函数的最小正周期． （2）当时，的最大值为2，求的值， 参考答案： 解(1)  -2分  则的最小正周期，      ……………4分 为的对称轴．…………7分 （2）当时，        ------  9分 当，即时． 所以．      12分 略