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湖北省荆门市毛李中学2022年高三数学理期末试题含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 下列函数在(0,+∞)上为减函数的是( )
A.y=cosx B.y=﹣x2+2x C. D.y=e﹣x
参考答案:
D
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,综合即可得答案.
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于A、y=cosx为余弦函数,单调递减区间为(2kπ,2kπ+π),在(0,+∞)上不是减函数,不符合题意;
对于B、y=﹣x2+2x是二次函数,单调递减区间为(1,+∞),不符合题意;
对于C、y=(x﹣1)的定义域为(1,+∞),在(0,+∞)上不是减函数,不符合题意;
对于D、y=e﹣x=()x,为指数函数,在R上递减,符合题意;
故选:D.
2. 设复数满足,则复数的共轭复数是( ).
A. B. C. D.
参考答案:
B
略
3. 已知函数若,则等于( )
A.6 B. C.4 D.-6
参考答案:
C
4. 函数(且 )的图象恒过定点,若点在直线上,其中,则的最大值为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 已知数列是正项等比数列,是等差数列,且,则一定有( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
略
6. 二项式展开式中,x的幂指数是整数的项共有
A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
参考答案:
C
略
7. 下列4个命题:
①命题“若x2﹣x=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣x≠0”;
②若“?p或q”是假命题,则“p且?q”是真命题;
③若p:x(x﹣2)≤0,q:log2x≤1,则p是q的充要条件;
④若命题p:存在x∈R,使得2x<x2,则?p:任意x∈R,均有2x≥x2;
其中正确命题的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
参考答案:
C
【考点】命题的真假判断与应用.
【专题】简易逻辑.
【分析】直接写出命题的逆否命题判断①;由复合命题的真假判断判定②;求解不等式,然后结合充要条件的判断方法判断③;直接写出特称命题的否定判断④.
【解答】解:①命题“若x2﹣x=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x2﹣x≠0”,①正确;
②若“?p或q”是假命题,则?p、q均为假命题,∴p、?q均为真命题,“p且?q”是真命题,②正确;
③由p:x(x﹣2)≤0,得0≤x≤2,
由q:log2x≤1,得0<x≤2,则p是q的必要不充分条件,③错误;
④若命题p:存在x∈R,使得2x<x2,则?p:任意x∈R,均有2x≥x2,④正确.
∴正确的命题有3个.
故选:C.
【点评】本题考查命题的真假判断与应用,考查了命题的否定、逆否命题,训练了充分必要条件的判断方法,是基础题.
8. 设,则
A. B.
C. D.
参考答案:
9. 对于数集A,B,定义若集合A={1,2},则集合中所有元素之和为
A、 B、 C、 D、
参考答案:
D
10. 已知函数的周期为4,且当时, 其中.若方程恰有5个实数解,则的取值范围为 ( )
A. B. C. D.
参考答案:
B
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 点M(2,1)到直线的距离是 .
参考答案:
【考点】点到直线的距离公式.
【专题】计算题.
【分析】利用点到直线的距离公式即可求得答案.
【解答】解:设点M(2,1)到直线l: x﹣y﹣2=0的距离为d,
由点到直线的距离公式得:d==.
故答案为:.
【点评】本题考查点到直线的距离公式,属于基础题.
12. (4分)若无穷等比数列{an}的各项和等于公比q,则首项a1的取值范围是 .
参考答案:
﹣2<a1≤且a1≠0
考点:等比数列的通项公式.
专题:等差数列与等比数列.
分析:由题意易得=q,可得a1=﹣(q﹣)2+,由二次函数和等比数列的性质可得.
解答:解:∵无穷等比数列{an}的各项和等于公比q,
∴|q|<1,且=q,
∴a1=q(1﹣q)=﹣q2+q=﹣(q﹣)2+,
由二次函数可知a1=﹣(q﹣)2+≤,
又等比数列的项和公比均不为0,
∴由二次函数区间的值域可得:
首项a1的取值范围为:﹣2<a1≤且a1≠0
故答案为:﹣2<a1≤且a1≠0
点评: 本题考查等比数列的各项和,涉及二次函数的最值,属基础题.
13. .若实数x,y满足则z=-x+5y的最小值为______.
参考答案:
12
【分析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用直线平移法进行求解即可.
【详解】解:作出不等式组对应的平面区域如图:
由得 ,平移直线
由图像知当直线经过点时,直线截距最小此时最小,
由 得 ,得 ,
则z的最小值为-3+5×3=12,
故答案为:12.
【点睛】本题主要考查线性规划的应用,作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义,利用数形结合是解决本题的关键.
14. 设△ABC的内角为A、B、C所对的边分别为a、b、c,若,则= .
参考答案:
﹣1
【考点】解三角形;平面向量数量积的运算.
【专题】综合题.
【分析】先利用正弦定理及和角的三角函数,可求cosA的值,进而可求sinA,利用三角形的面积,求得bc.利用向量的数量积公式,即可得到结论.
【解答】解:∵(3b﹣c)cosA=acosC∴由正弦定理,可得:3sinBcosA﹣sinCcosA=sinAcosC
∴3sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA
∴3sinBcosA=sin(A+C)=sinB
∴cosA=,sinA=
∵
∴bcsinA=bc=
∴bc=3
∵cosA=,
∴cos<>=﹣
∴=bccos<>=﹣1
故答案为:﹣1
【点评】本题考查正弦定理,考查三角形的面积公式,解题的关键是利用正弦定理,进行边角互化.
15. 当x∈[﹣2,1]时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
[﹣6,﹣2]
【考点】函数恒成立问题.
【专题】导数的综合应用.
【分析】分x=0,0<x≤1,﹣2≤x<0三种情况进行讨论,分离出参数a后转化为函数求最值即可,利用导数即可求得函数最值,注意最后要对a取交集.
【解答】解:当x=0时,不等式ax3﹣x2+4x+3≥0对任意a∈R恒成立;
当0<x≤1时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≥,
令f(x)=,则f′(x)=﹣++=﹣(*),
当0<x≤1时,f′(x)>0,f(x)在(0,1]上单调递增,
f(x)max=f(1)=﹣6,∴a≥﹣6;
当﹣2≤x<0时,ax3﹣x2+4x+3≥0可化为a≤﹣﹣,
由(*)式可知,当﹣2≤x<﹣1时,f′(x)<0,f(x)单调递减,当﹣1<x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
f(x)min=f(﹣1)=﹣2,∴a≤﹣2;
综上所述,实数a的取值范围是﹣6≤a≤﹣2,即实数a的取值范围是[﹣6,﹣2].
故答案为:[﹣6,﹣2].
【点评】本题考查利用导数研究函数的最值,考查转化思想、分类与整合思想,按照自变量讨论,最后要对参数范围取交集.若按照参数讨论则取并集,是中档题.
16. 设,式中变量x、y满足下列条件
则z的最大值为 .
参考答案:
11
17. 对于函数,给出下列五个命题:①存在,使;②存在,使;③存在,函数的图像关于坐标原点成中心对称;④函数的图像关于对称;⑤函数的图像向左平移个单位就能得到的图像,其中正确命题的序号是_________
参考答案:
③④
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分16分)
设数列的前n项和为,且满足,n=1,2,3,…….
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足,且,求数列的通项公式;
(3)设,求数列的前n项和.
参考答案:
.解:(1)当n=1时,,所以
当n≥2时, ,且
所以 得:
则数列是以1为首项,为公比的等比数列,
所以:数列的通项公式是 。
(2) 由 且 所以:,
则:,,?? ?,
以上n-1个等式叠加得:
则:=2-,又
所以:
(3) 略
19. 已知函数,曲线在处的切线经过点.
(1)证明:;
(2)若当时,,求的取值范围.
参考答案:
(1)曲线在处的切线为,即
由题意得,解得
所以
从而
因为当时,,当时,.
所以在区间上是减函数,区间上是增函数,
从而.
(2)由题意知,当时,,所以
从而当时,,
由题意知,即,其中
设,其中
设,即,其中
则,其中
(1)当时,因为时,,所以是增函数
从而当时,,
所以是增函数,从而.
故当时符合题意.
(2)当时,因为时,,
所以在区间上是减函数
从而当时,
所以在上是减函数,从而
故当时不符合题意.
(3)当时,因为时,,所以是减函数
从而当时,
所以是减函数,从而
故当时不符合题意
综上的取值范围是.
20. 如图,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是边长为a的正三角形,侧棱长为b,侧棱AA'与底面相邻两边AB,AC都成45°角.
(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面积.
(Ⅱ)求三棱锥B'-ABC的体积.
参考答案:
略
21. (本小题满分12分)若数列的前项和满足,等差数列满足.
(1)求数列、的通项公式;
(2)设,求数列的前项和为.
参考答案:
(1)当时, ,∴
当时, , 即
∴数列是以为首项,3为公比的等比数列,∴ , ……………4分
设的公差为
∴ ………………………6分
(2),
①
② ………………………8分
由①②得,
………………………12分
22. (12分)设函数.
(1)求函数的最小正周期.
(2)当时,的最大值为2,求的值,
参考答案:
解(1)
-2分
则的最小正周期, ……………4分
为的对称轴.…………7分
(2)当时, ------ 9分
当,即时.
所以. 12分
略
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