湖北省荆州市监利县周老嘴镇张场中学高三数学理期末试题含解析

湖北省荆州市监利县周老嘴镇张场中学高三数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知非零向量与满足(+)·=0且·= , 则△ABC为 A.  等边三角形     B.  直角三角形       C. 等腰三角形      D. 等腰直角三角形 参考答案： A 2. 若i为虚数单位，则（   ） A. B. C. D. 参考答案： A . 试题立意：本小题考查复数的概念和乘除运算等基础知识；考查考生的运算求解能力. 3. 下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（   ）. A.      B.   C.   D. 参考答案： B 4. 已知函数 ．则   A.          B．        C.           D． 参考答案： B 5. 命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”的否定是(　　) (A)任意一个有理数,它的平方是有理数 (B)任意一个无理数,它的平方不是有理数 (C)存在一个有理数,它的平方是有理数 (D)存在一个无理数,它的平方不是有理数 参考答案： B 6. 已知是定义在R上的奇函数，当时，（m为常数），则的值为（     ） A.              B.         C.6           D. 参考答案： B 【知识点】函数的奇偶性与周期性.B4    解析：由题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时f（x）=3x+m（m为常数）， ∴f（0）=30+m=0，解得m=-1，故有x≥0时f（x）=3x-1 ∴f（-log35）=-f（log35）=-（3log35-1）=-4 【思路点拨】由题设条件可先由函数在R上是奇函数求出参数m的值，求函数函数的解板式，再由奇函数的性质得到f（-log35）=-f（log35）代入解析式即可求得所求的函数值，选出正确答案. 7. 设的三边长分别为a、b、c，的面积为S，内切圆半径为r，则类比这个结论可知：四面体P－ABC 的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球的半径为r，四面体 P－ABC的体积为V，则r＝(　　) 参考答案： C 略 8. 曲线上切点为的切线方程是（  ） （A）   （B）  （C）　　（D）或    参考答案： A 导数则切线斜率，所以切线方程为，即切线为选A. 9. 已知双曲线（b＞0）的离心率等于b，则该双曲线的焦距为（　　） A．2 B．2 C．6 D．8 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【专题】数形结合；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：设双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为2c，根据双曲线的几何性质求出c的值即可得焦距． 解：设双曲线﹣=1（b＞0）的焦距为2c， 由已知得，a=2； 又离心率e==b， 且c2=4+b2， 解得c=4； 所以该双曲线的焦距为2c=8． 故选：D． 【点评】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题，是基础题目． 10. 一个球的球心到过球面上A、B、C 三点的平面的距离等于球半径的一半，若AB=BC=CA=3，则球的体积为 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 设曲线与轴、轴、直线围成的封闭图形的面积为，若在上单调递减，则实数的取值范围是          ． 参考答案： k≥0 12. 定义在上的函数，其图象是连续不断的，如果存在非零常数（），使得对任意的，都有，则称为“倍增函数”，为“倍增系数”，下列命题为真命题的是___（写出所有真命题对应的序号）． ①若函数是倍增系数的倍增函数，则至少有1个零点； ②函数是倍增函数，且倍增系数； ③函数是倍增函数，且倍增系数. 参考答案： ①③ 13. 已知z、y满足 ，则 的最大值是________． 参考答案： 略 14. 如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=1，则四面体A—EFB的体积V等于      。 参考答案： 连结BD交AC与O,则OA为四面体A—EFB的高且,,所以。 15. 在△中，分别为的对边，三边、、成等差数列，且，则的值为            ． 参考答案：        16. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知两点、的极坐标分别为，，则△（其中为极点）的面积为                参考答案： 3 17. 执行如图所示的程序框图．若输出，则输入角        参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分10分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E， D，连接EC，CD. (Ⅰ)求证：直线AB是⊙O的切线； (Ⅱ)若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长． 参考答案： (Ⅰ)证明：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB， ∴OC⊥AB，又∵OC是圆的半径，∴AB是圆的切线． (Ⅱ)∵ED是直径，∴∠ECD＝90°. ∴∠EDC＋∠E＝90°，又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC， ∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC， 设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD·BE， ∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2， ∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.   19. 直四棱柱中，底面是等腰梯形，，，为的中点，为中点． (1) 求证：； (2) 若，求与平面所成角的大小 参考答案： 解：(1)证明：连结AD1，在△ABD1中 ∵E是BD1的中点，F是BA中点， ∴EF//AD1 又EF?平面ADD1A1，AD1?平面ADD1A1 ∴EF∥平面ADD1A1. (2)解法1：延长D1A1至H，使A1H＝D1A1，延长DA至G，使AG＝DA，并连结HG和A1G，则A1G∥D1A∥EF ∴A1G∥平面DEF， ∴A1到平面DEF的距离等于G到平面DEF的距离，设为x 由题意可得，DF＝BC＝AD＝1，连DB，在Rt△D1DB中，DE＝D1B 又DB＝，且DD1＝， ∴DE＝×＝， 又EF＝AD1＝＝， 在△DEF中，由余弦定理得： cos∠EDF＝＝ ∴sin∠EDF＝＝ ∴S△DEF＝××1×＝， 又点E到平面DGF的距离d＝DD1＝   不难证明∠DFG是Rt△(∵FA＝DG) ∴S△DFG＝×DF×FG＝×1×＝ 由VE－DGF＝VG－DEF得，x·S△DEF＝d·S△DFG， ∴x·＝×， ∴x＝，即A1到平面DEF的距离为， 设A1F与平面DEF成α角，则 sinα＝＝×＝，∴α＝arcsin， 即A1F与平面DEF所成角的大小为arcsin. 解法2：建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz(DG为AB边上的高) 则有A1(，－，)，F(，，0)，D1(0,0，)，B(，，0)，∴E(，，)， 设平面DEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由， 取x＝1解得y＝－，z＝ ∴法向量n＝(1，－，)， ∵＝(0,1，－)， 设A1F与平面DEF所成的角为θ，则 sinθ＝|cos〈，n〉|＝ ＝＝， ∴A1F与平面DEF所成角的大小为arcsin. 20. （本小题满分12分）如图，在三棱柱中，底面，，E、F分别是棱的中点. （Ⅰ）求证：AB⊥平面AA1 C1C； （Ⅱ）若线段上的点满足平面//平面，试确定点的位置，并说明理由； （Ⅲ）证明：⊥A1C. 参考答案： （I）底面，      ，                                           -------------------------2分      ，，      面.                                      --------------------------4分 （II）面//面，面面，面面，      //，                            ---------------------------7分      在中是棱的中点，      是线段的中点.                    ---------------------------8分 （III）三棱柱中      侧面是菱形， ，                        --------------------------------9分      由（1）可得，      ，      面，                                  --------------------------------10分      .                                       -------------------------------11分      又分别为棱的中点，      //                                   ------------------------------12分      .                                         21. （满分12分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示． （Ⅰ）如果,求乙组同学植树棵树的平均数和方差； （Ⅱ）如果，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这 两名同学的植树总棵树的分布列和数学期望． 参考答案： 解:（1）当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为……………………………………3分 方差为………………………6分 （Ⅱ）当X=9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9，9，11，11；乙组同学的植树棵数是：9，8，9，10。分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，共有4×4=16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17，18，19，20，21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果，因此P（Y=17）=。 同理可得 所以随机变量Y的分布列为： Y 17 18 19 20 21 P EY=17×P（Y=17）+18×P（Y=18）+19×P（Y=19）+20×P（Y=20）+21×P（Y=21）=17×+18×+19×+20×+21× =19。                                  ………………………………12分 22. 某高校文学院和理学院的学生组队参加大学生电视辩论赛，文学院推荐了2名男生，3名女生，理学院推荐了4名男生，3名女生，文学院和理学院所推荐的学生一起参加集训，由于集训后学生水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队． （1）求文学院至少有一名学生入选代表队的概率； （2）某场比赛前，从代表队的6名学生在随机抽取4名参赛，记X表示参赛的男生人数，求X的分布列与数学期望． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列． 【专题】应用题；方程思想；综合法；概率与统计． 【分析】（1）求出文学院至少有一名学生入选代表队的对立事件的概率，然后求解概率即可； （2）求