湖北省荆州市田家炳中学高三数学文上学期期末试题含解析

湖北省荆州市田家炳中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为           （  ） A．   B．      C．      D． 参考答案： A 略 2. 已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，向量a与b的夹角为，c＝a＋2b，则｜c｜＝（　　） A、　　B、　　C、2　　D、3 参考答案： A . 3. 执行图2所示的程序框图,若输入的，则输出的（　 ） 图2 (A)2       (B)3      (C)4        (D) 5 参考答案： B 第一次执行循环体后：;第二次执行循环体后：;第三次执行循环体后：输出选B. 4. 已知函数f（x）=，则y=f（x）的大致图象为（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】函数的图象． 【分析】化简解析式，利用函数的单调性，判断函数的图象即可． 【解答】解：函数f（x）==1﹣，因为函数y=e2x，是增函数，所以函数f（x）=，是增函数， 可知函数的图象只有B满足题意． 故选：B． 5. 已知，，当与共线时，值为（    ） (A) 1          (B)2         (C)         (D) 参考答案： D 6. 已知集合，则集合=       （    ） A.    B.    C.       D. 参考答案： C 7. 已知函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为（   ） A. B. C. D. 参考答案： B 【分析】 由对称中心之间的距离为可得三角函数的周期，从而可求得的值，利用经过平移变换后得到的函数是偶函数求得的值，从而根据正弦函数的单调性可得结果． 【详解】因为函数的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以，可得， 将函数的图象向左平移后， 得到是偶函数， 所以， 解得， 由于， 所以当时． 则， 令， 解得， 当时，单调递减区间为， 由于， 所以是函数的一个单调递减区间，故选B． 【点睛】本题主要考查正弦型函数的周期性和单调性的应，以及三角函数图象的平移变换规律，属于中档题．函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，由求得增区间. 8. 已知A＝{x||x－1|≤1，x∈R}，B＝{x|log2x≤1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的                                                                    (　　) A．充分不必要条件                            B．必要不充分条件 C．充分必要条件                               D．既不充分也不必要条件 参考答案： B 9. 设则                                                     A．       B．       C．       D． 参考答案： B 10. 若实数x，y满足不等式组则3x+4y的最小值是          A．13                 B．15                    C．20                   D．28 参考答案： A 题主要考查了简单的线性规划问题以及目标函数的最值等，难度中等。作出不等式组的可行域，如图中的阴影部分所示，根据图形结合目标函数z=3x+4y可知当取点A（3，1），z的最小值为3×3+4×1=13，故选A； 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 在△ABC中,AD为BC边上的中线,AB=2,BD=2,AD=2,则△ADC的面积S△ADC=　　　　 参考答案： 2 略 12. 中，角的对边分别为，当最大时，          ． 参考答案： 13. （3分）若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=　　． 参考答案： ﹣ 考点： 运用诱导公式化简求值． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用诱导公式可知cosα=，又π＜α＜2π，利用同角三角函数间的关系式（平方关系）即可求得sinα的值． 解答： ∵cos（π+α）=﹣cosα=﹣， ∴cosα=， 又π＜α＜2π， ∴sinα=﹣=﹣． 故答案为：﹣． 点评： 本题考查诱导公式与同角三角函数间的关系式的应用，属于中档题． 14. 右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽         米. 14. 参考答案： .   设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为，带入点A得，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为，则，所以水面宽度为. 15. 已知函数在点处的切线方程为，则_______． 参考答案： 3 【分析】 由f（x）＝aex+b，得f'（x），因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1，故（0，f（0））适合方程y＝2x+1，且f′（0）＝2；联立可得结果． 【详解】由f（x）＝aex+b，得f'（x）＝aex， 因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程是y＝2x+1， 所以解得a＝2，b＝﹣1． a﹣b＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查函数与导数的关系，特别是曲线的切线与函数导数之间的关系，属于中档题． 16. （极坐标与参数方程选讲选做题）已知两曲线的参数方程分别为 (为参数)和（为参数），则它们的交点坐标为         ． 参考答案： . 试题分析：两曲线的普通方程分别为，，由得或（其中不合舍去）由得，即两曲线的交点为. 考点：极坐标方程和参数方程的应用. 17. .已知两个单位向量，满足，则与的夹角为_______ 参考答案： 【分析】 通过平方运算将模长变为数量积运算的形式，可构造出关于夹角余弦值的方程，从而求得夹角. 【详解】由题意知：        本题正确结果： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数， （1）若函数在处与直线相切； ①求实数的值；②求函数上的最大值; （2）当时，若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围. 参考答案： 则对所有的都成立， 即对所有的都成立， 令为一次函数， 上单调递增， 对所有的都成立。 19. （本小题满分12分） 已知函数， （1）设函数，求函数的单调区间； （2）若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围. 参考答案： 在上存在一点，使得，即 函数在上的最小值小于零.        …由（Ⅱ）可知 ①即，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得， 因为，所以；                   ②当，即时， 在上单调递增， 所以最小值为，由可得；③当，即时， 可得最小值为， 因为，所以， 故    此时，不成立.          综上讨论可得所求的范围是：或.         略 20. 已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并予以证明； （3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的解集． 参考答案： 【考点】4N：对数函数的图象与性质． 【分析】（1）结合真数大于零得到关于x的不等式组即可求得函数的定义域； （2）结合（1）的结果和函数的解析式即可确定函数的奇偶性； （3）结合函数的单调性得到关于x的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果． 【解答】解：（1）要使函数有意义，则， 解得﹣1＜x＜1，即函数f（x）的定义域为（﹣1，1）； （2）函数的定义域关于坐标原点对称， ∵f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x） ∴f（x）是奇函数． （3）若a＞1时，由f（x）＞0得loga（x+1）＞loga（1﹣x）， 则，求解关于实数x的不等式可得0＜x＜1， 故不等式的解集为（0，1）． 21. 已知是各项均为正数的等差数列，公差为，对任意的是和的等比中项. (Ⅰ)设，求证：数列是等差数列； (Ⅱ)设 ，求证： 参考答案： （Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 22. 从某企业生产的某种产品中抽取20件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量得到如图所示的频率分布直方图1，从左到右各组的频数依次记为A1、A2、A3、A4，A5． （1）求图1中a的值； （2）图2是统计图1中各组频数的一个算法流程图，求输出的结果S； （3）从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，求所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率． 参考答案： 考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图． 专题： 图表型；概率与统计；算法和程序框图． 分析： 解：（1）依题意，利用频率之和为1，直接求解a的值． （2）由频率分布直方图可求A1，A2，A3，A4，A5的值，由程序框图可得S=A2+A3+A4，代入即可求值． （3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1，可得从5件产品中任取2件产品的结果共10种，记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A，可求事件A中包含的基本事件共4种，从而可求得P（A）． 解答： 解：（1）依题意，（2a+0.02+0.03+0.04）×10=1 解得：a=0.005 （2）A1=0.005×10×20=1，A2=0.040×10×20=8，A3=0.030×10×20=6，A4=0.020×10×20=4，A5=0.005×10×20=1 故输出的S=A2+A3+A4=18 （3）记质量指标在[110，120）的4件产品为x1，x2，x3，x4，质量指标在[80，90）的1件产品为y1， 则从5件产品中任取2件产品的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，x4），（x1，y1），（x2，x3）， （x2，x4），（x2，y1），（x3，x4），（x3，y1），（x4，y1）共10种， 记“两件产品的质量指标之差大于10”为事件A， 则事件A中包含的基本事件为：（x1，y1），（x2，y1），（x3，y1），（x4，y1）共4种 所以可得：P（A）==． 即从质量指标值分布在[80，90）、[110，120）的产品中随机抽取2件产品，所抽取两件产品的质量指标之差大于10的概率为 点评： 本题考查读频率分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，属于中档题．