湖北省荆州市郑公中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析

湖北省荆州市郑公中学2022年高三数学理下学期期末试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 设函数，则 （A）在单调递增，其图象关于直线对称 （B）在单调递增，其图象关于直线对称 （C）在单调递减，其图象关于直线对称 （D）在单调递减，其图象关于直线对称 参考答案： D 本题主要考查了三角函数的变换、图像和性质，中等难度.函数 ，由函数的图像和性质知在上 单调递减，且图象关于直线对称.故选D. 2. 设 ，则a，b，c 的大小是 A. a＞b＞c   B.b＞a＞c C. b＞c＞a   D.a＞c＞b 参考答案： A ∵，， ∴ 故选A   3. 已知是虚数单位，且复数是实数，则实数的值为 A．       B．         C．0            D． 参考答案： A 略 4. 复数（为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是    A.          B.          C.       D. 参考答案： A 5. 2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程： . 设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为 A． B． C． D． 参考答案： D 所以有 化简可得，可得。   6. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为（　　） A．4 B．6+4 C．4+4 D．2 参考答案： B 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积． 【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，代入棱柱表面积公式，可得答案． 【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱， 底面面积为：×2×1=1， 底面周长为：2+2×=2+2， 故棱柱的表面积S=2×1+2×（2+2）=6+4， 故选：B． 　 7. 若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的（   ） A．充分不必要条件  B．必要不充分条件C．充要条件  D．既不充分也不必要条件 参考答案： A 略 8. 已知是空间三条不同直线，命题：若，，则；命题：若三条直线两两相交，则直线共面，则下列命题为真命题的是 A．      B．         C．     D．  参考答案： C 9. 将函数的图象上向左平移个单位，再向上平移3个单位，得到函数的图象，则解析式为（   ）                                      参考答案： B 10. 已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴在y轴的左边，其中a，b，c∈{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，在这些抛物线中，若随机变量X=|a﹣b|，则X的数学期望E（X）=（　　） A． B． C． D． 参考答案： D 【考点】离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计． 【分析】对称轴在y轴的左侧时，a与b同号，故可求满足条件的抛物线有78条，故可求相应的“|a﹣b|的取值”的概率，进而得到均值EX． 【解答】解：因为抛物线对称轴在y轴左侧，所以 a与b同号，且 a≠0，b≠0； 若a，b都是负值，则有2×2×6=24， 若a，b都是正值，则有3×3×6=54， 所有满足的抛物线总数，24+54=78个， X=|a﹣b|可能取值有0，1，2， ①X=0时，则a，b取值相同，共有5×6=30个 此时 P（X=0）=， ②X=1时，a，b相差一个数，即从（﹣2，﹣1）或（1，2）或（2，3）中各取一个数，有2×6+2×6+2×6=36个，则 P（X=1）=． ③X=2时，a，b相差2，此时只有（1，3）一组，有2×6=12个，此时P（X=2）=． 故EX=0×+1×+2×=． 故选D． 【点评】本题以抛物线为载体，考查概率知识的运用，解题的关键是求出基本事件的个数．要求熟练掌握期望公式． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知，则函数的零点个数为       . 参考答案： 2个 12. 已知=           . 参考答案： 无 略 13. _______;    参考答案：     ==． 14. 对于给定的实数k＞0，函数f（x）=的图象上总存在点C，使得以C为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点O的距离为1，则k的取值范围是　　． 参考答案： （0，2） 【考点】函数的图象． 【分析】根据题意得：以C为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，1为半径的圆有两个交点，即C到原点距离小于2，即f（x）的图象上离原点最近的点到原点的距离小于2，设出C坐标，利用两点间的距离公式表示出C到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围． 【解答】解：根据题意得：|OC|＜1+1=2， 设C（x，）， ∵|OC|=≥， ∴＜2，即0＜k＜2， 则k的范围为（0，2）． 故答案为：（0，2）． 15. 设、是平面内两个不平行的向量，若与平行，则实数         . 参考答案： -1 略 16. 设函数f（x）定义域为D，若满足①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]∈D使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，那么就称y=f（x）为“成功函数”．若函数g（x）=loga（a2x+t）（a＞0且a≠1）是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围为　　． 参考答案： （0，） 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】计算题；新定义． 【分析】由题意可知f（x）在D内是单调增函数，才为“成功函数”，由定义可构造loga（a2x+t）=x有两不同实数根，利用二次方程解出t的范围． 【解答】解：∵g（x）=loga（a2x+t）（a＞0且a≠1）是定义域为R的“成功函数”， ∴函数为增函数，且f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]， ∴g（a）=a，g（b）=b ∴相当于方程g（x）=x有两不同实数根， ∴loga（a2x+t）=x，得ax=a2x+t即a2x﹣ax+t=0 令m=ax，m＞0 ∴m2﹣m+t=0有两个不同的正数根，由韦达定理得，△=1﹣4t＞0，t＞0，1＞0， ∴t∈（0，）． 故答案为：（0，）． 【点评】本题主要考查对数函数的定义域和单调性，求函数的值域，难点在于构造函数，转化为两函数有不同二交点，利用方程解决． 17. （不等式选做题）不等式的解集为          ． 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设函数f（x）=ex（ax2+x+1）． （1）若a＞0，求f（x）的单调区间； （2）若函数f（x）在x=1处有极值，请证明：对任意θ∈[0，]时，都有|f（cosθ）﹣f（sinθ）|＜2． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）求出a的值，求出函数f（x）的导数，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（1）f'（x）=ex（ax2+x+1）+ex（2ax+1）=， 当时，，f（x）在R上单调递增； 当时，f'（x）＞0，解得x＞﹣2或；f'（x）＜0，解得， 故函数f（x）在和（﹣2，+∞）上单调递增，在上单调递减． 当时，f'（x）＞0，解得或x＜﹣2；f'（x）＜0，解得， 故函数f（x）在（﹣∞，﹣2）和上单调递增，在上单调递减． 所以当时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，+∞）； 当时，f（x）的单调递增区间是和（﹣2，+∞），单调递减区间是； 当时，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和，单调递减区间是． （2）证明：∵x=1时，f（x）有极值，∴f'（x）=3e（a+1）=0，∴a=﹣1， ∴f（x）=ex（﹣x2+x+1），f'（x）=﹣ex（x﹣1）（x+2）， 由f'（x）＞0，得﹣2＜x＜1，∴f（x）在[﹣2，1]上单调递增． ∵，∴sinθ，cosθ∈[0，1]， ∴|f（cosθ）﹣f（sinθ）|≤f（1）﹣f（0）=e﹣1＜2． 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查转化思想，是一道中档题． 19. （本题满分15分）   已知A(1,1)是椭圆（）上一点,F1-，F2是椭圆上的两焦点,且满足    (I)求椭圆方程；     (II)设C,D是椭圆上任意两点,且直线AC,AD的斜率分别为,若存在常数使求直线CD的斜率。 参考答案： （本题满分15分） （I）所求椭圆方程。………7分 （II）设直线AC的方程：，由，得 点C， 同理  ， 要使为常数，+（1-C）=0， 得C=1，                           ………15分 略 20. (本小题满分12分)如图,在三棱锥中, ，点为以为直径的圆上任意一动点, 且,点是的中点,且交于点. （I）求证: （II）当时，求二面角的余弦值.   参考答案： (Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) (Ⅰ)证明: ,,又易知              ……………………2分 又,是的中点, , ， ……………………4分 又已知, 平面.                                   ………………6分 (Ⅱ) 解法一:如图,以为坐标原点,AB为x轴，AS为z轴,建立空间直角坐标系,                       由于, 可设,则   ………………8分 设平面的一个法向量 则  即 可得      ………………10分 由（1）可知 易求   · 二面角的余弦值是 .                         …………12分   21. 已知正数、、，， 求证：. 参考答案： 当且仅当时取到等号，则.     22. （本小题满分12分）       己知f（x）在（一1，1)上有定义，f（）＝一1，且满足x.，y （一1, 1)有f（x）＋f（y）＝。     （I）判断为f（x）在（一1，1）上的奇偶性：      （II）对数列，求       (111)求证： 参考答案：