湖北省恩施市巴东第一级高级中学高一数学文期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列各式错误的是（ ）
A．30.8＞30.7 B．log0.50.4＞log0..50.6
C．0.75﹣0.1＜0.750.1 D．lg1.6＞lg1.4
参考答案：
C
【考点】不等式比较大小．
【分析】利用对数函数和指数函数的增减性进行选择．
【解答】解：A、∵y=3x，在R上为增函数，∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7，故A正确；
B、∵y=log0.5x，在x＞0上为减函数，∵0.4＜0.6，∴log0..50.4＞log0..50.6，故B正确；
C、∵y=0.75x，在R上为减函数，∵﹣0.1＜0.1，∴0.75﹣0.1＞0.750.1，故C错误；
D、∵y=lgx，在x＞0上为增函数，∵1.6＞1.4，∴lg1.6＞lg1.4，故D正确；
故选C．
2. 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx的图象，则函数f（x）的图象（ ）
A．关于直线x=对称 B．关于直线x=对称
C．关于点（，0）对称 D．关于点（，0）对称
参考答案：
C
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用正弦函数的周期性、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴ =π，∴ω=2．
把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）=cosωx=sin（2x++φ）的图象，
∴+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）．
由于当x=时，函数f（x）=0，故A不满足条件，而C满足条件；
令x=，求得函数f（x）=sin=，故B、D不满足条件，
故选：C．
3. 若向量，则（ ）
A． B． C． D．
参考答案：
B
4. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象关于 （ ）
A、直线对称 B、轴对称 C、轴对称 D、直线对称
参考答案：
C
5. 函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（ ）
A．（﹣∞，﹣1） B．（1，+∞） C．（﹣1，1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，+∞）
参考答案：
C
考点： 函数的定义域及其求法．
专题： 函数的性质及应用．
分析： 根据题意，结合分式与对数函数的定义域，可得，解可得答案．
解答： 解：根据题意，使f（x）=+lg（1+x）有意义，
应满足，解可得（﹣1，1）∪（1，+∞）；
故选：C．
点评： 本题考查函数的定义域，首先牢记常见的基本函数的定义域，如果涉及多个基本函数，取它们的交集即可
6. 若函数为定义域上的单调函数，且存在区间(其中)，使得当时，的取值范围恰为，则称函数是上的正函数。若函数是上的正函数，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
A
7. 函数的图象大致是（ ）
参考答案：
C
8. 已知幂函数过点，令，，记数列的前n项和为Sn，则时，n的值是（ ）
A. 10 B. 120 C. 130 D. 140
参考答案：
B
【分析】
根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得的表达式，利用裂项求和法求得的表达式，解方程求得的值.
【详解】设幂函数为，将代入得，所以.所以，所以，故，由解得，故选B.
【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.
9. 已知偶函数在区间单调递减，则满足的取值范围是 （ ）
参考答案：
C
略
10. 如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形， 俯视图是一个圆 ，那么这个几何体的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
参考答案：
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知集合的子集只有两个，则的值为 ．
参考答案：
0或1
12. 已知函数的值域为，则的取值范围是________
参考答案：
13. 与终边相同的最小正角是_______________.
参考答案：
14. 方程的解为_________.
参考答案：
【分析】
根据特殊角的三角函数及正切函数的周期为kπ，即可得到原方程的解．
【详解】则
故答案为：
15. 不等式<1的解集为{x|x<1或x>2},那么a的值为______________.
参考答案：
16. 在等差数列{an}中，已知a1 + a19= -18，则a10 = .
参考答案：
－9
略
17. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是 ．
参考答案：
（﹣∞，﹣5]
【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．
【解答】解：∵当x≥0时，f（x）=x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，
则x+a≥3x+1恒成立，
即a≥2x+1恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（2x+1）max=2（a+2）+1=2a+5，
即a≥2a+5，
解得a≤﹣5，
即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣5]；
故答案为：（﹣∞，﹣5]；
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，以及不等式恒成立问题，综合考查函数的性质．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱相等，AA1⊥底面ABC，E是AA1的中点．
（Ⅰ）求证：BE⊥CB1；
（Ⅱ）在AB上找一点P，使P﹣CBE的体积等于C﹣ABE体积的．
参考答案：
考点： 棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）取AB的中点H，连结CH，HB1，由已知得CH⊥BE，BE⊥B1H，由此能证明BE⊥CB1．
（Ⅱ）===，根据相似三角形的关系得=，由此能求出点P在有向线段BA的三分之一处．
解答： （Ⅰ）证明：取AB的中点H，连结CH，HB1，
∵△ABC是等边三角形，∴CH⊥BE，
∵四边形AA1B1B是正方形，且E， H分别是AA1，AB的中点，
∴BE⊥B1H，
∵BE∩B1H=D，∴BE⊥平面CHB1，
∵CB1?平面CHB1，∴BE⊥CB1．
（Ⅱ）解：∵VC﹣ABE=VA﹣CBE，
∴==，
其中d1，d2分别是点P，A到BE的距离，
∵=，∴根据相似三角形的关系得=，
∴BP=，∴点P在有向线段BA的三分之一处．
点评： 本题考查异面直线垂直的证明，考查点P的位置的确定，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
19. （10分）如图：有一块半径为2的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底是圆的直径，上底CD的端点在圆周上．梯形的周长令为y，腰长为x
（Ⅰ）求周长y关于腰长x的函数关系式，并求其定义域；
（Ⅱ）当梯形周长最大时，求此时梯形的面积S．
参考答案：
考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （ I）画出图形，结合图形，求出周长y关于腰长x的函数解析式，再求出函数的定义域即可；
（Ⅱ）求出函数y的最大值，并求出此时对应的梯形的面积S．
解答： （ I）如图所示，作DE⊥AB于E，连接BD，
因为AB为直径，所以∠ADB=90°；
在Rt△ADB与Rt△AED中，∠ADB=90°=∠AED，∠BAD=∠DAE，
所以Rt△ADB∽Rt△AED；
所以=，即AE=；
又AD=x，AB=4，所以AE=；
所以CD=AB﹣2AE=4﹣2×=4﹣，
于是y=AB+BC+CD+AD=4+x+4﹣+x=﹣x2+2x+8，
由于AD＞0，AE＞0，CD＞0，所以x＞0，＞0，4﹣＞0，
解得0＜x＜2；
故所求的函数为y=﹣x2+2x+8（0＜x＜2）；
（Ⅱ）因为y=﹣x2+2x+8=﹣（x﹣2）2+10，
又0＜x＜2，所以，当x=2时，y有最大值10，
此时，梯形的腰长AD=x=2，下底长AB=4，所以AE==1；
所以上底长CD=AB﹣2AE=4﹣2×1=2，高DE=；
∴梯形的面积为S=（AB+CD）?DE=×（4+2）×=3．
点评： 本题考查了函数模型的应用问题，也考查了求函数最值的问题，是综合性题目．
20. 已知函数f（x）=cos（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）
（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程及对称中心；
（2）求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域．
参考答案：
【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．
【专题】计算题．
【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式及二倍角正弦公式将f（x）化为一角一函数形式得出f（x）=sin（2x﹣）．
将2x﹣看作整体（1）借助于正弦函数的对称轴方程及对称中心求解（2）先求出2x﹣的范围，再求出值域．
【解答】解：
=
=cos2x+sin2x+sin（2x﹣）
=cos2x+sin2x﹣cos2x
=﹣cos2x+sin2x
=sin（2x﹣）．
最小正周期 T==π，
由2x﹣=kπ+，k∈Z得图象的对称轴方程 x=，k∈Z
由2x﹣=kπ，k∈Z得x=，对称中心（，0），k∈Z
（2）当x∈时，2x﹣∈[，]，由正弦函数的性质得值域为[]．
【点评】本题考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力，三角函数的图象和性质，整体换元的思想方法．
21. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．
（1）求角A的大小；
（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．
参考答案：
（1）（2）
试题分析：（1）根据二倍角公式,三角形内角和,所以,整理为关于的二次方程，解得角的大小；（2）根据三角形的面积公式和上一问角，代入后解得边，这样就知道,然后根据余弦定理再求，最后根据证得定理分别求得和.
试题解析：（1）由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，
得2cos2A＋3cos A－2＝0，
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)．
因为0
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