湖北省恩施市凉务民族中学高三数学文上学期期末试题含解析

湖北省恩施市凉务民族中学高三数学文上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知某算法的流程图如图所示，输入的数和为自然数，若已知输出的有序数对为，则开始输入的有序数对可能为  (   ) A.     B.     C.     D. 参考答案： B 2. 已知等差数列{an}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（　　） A．138 B．135 C．95 D．23 参考答案： C 【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和． 【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据a2+a4=4，a3+a5=10我们构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式，即可求解． 【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6， ∴d=3，a1=﹣4， ∴S10=10a1+=95． 故选C 3. 若，则sina(    )   A．              B．              C.          D． 参考答案： A 略 4. 设是两个不同的平面，是一条直线，以下命题正确的是  （    ） A．若，则        B．若，则 C．若，则        D．若，则 参考答案： A 5. 如果命题P：，命题Q：，那么下列结论不正确的是     A．“P或Q”为真                                      B．“P且Q”为假       C．“非P”为假                                         D．“非Q”为假 参考答案： B 6. 已知定义域为R的奇函数f（x），当x≥0时，，恒有f（x +a）≥f（x），则实数a的取值范围是 A．[0,2]        B．{0} ∪ [2, +∞）    C． [0，]  D．{0} ∪ [16, +∞） 参考答案： D 由函数性质作出图象，要恒成立，则只要使点左移个单位后到点的左侧或与重合，即，解得，选D． 7. 函数f(x)=(sinx+cosx)2 的一条对称轴的方程是(  ) 参考答案： A 化简，∴将选项代入验证，当时，取得最值，故选. 8. 从1，2，3，4，5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．  上述事件中，是对立事件的是(     ) A．① B．②④ C．③ D．①③ 参考答案： C 考点：互斥事件与对立事件． 专题：计算题；概率与统计． 分析：分析四组事件，①中表示的是同一个事件，②前者包含后者，④中两个事件都含有同一个事件，只有第三所包含的事件是对立事件． 解答： 解：∵在①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数中，这两个事件是同一个事件， 在②至少有一个是奇数和两个都是奇数中，至少有一个是奇数包括两个都是奇数， 在③至少有一个是奇数和两个都是偶数中，至少有一个是奇数包括有一个奇数和有两个奇数，同两个都是偶数是对立事件， 在④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数中，都包含一奇数和一个偶数的结果， ∴只有第三所包含的事件是对立事件 故选：C 点评：分清互斥事件和对立事件之间的关系，互斥事件是不可能同时发生的事件，对立事件是指一个不发生，另一个一定发生的事件． 9. 若等差数列{an}满足递推关系an+1=﹣an+n，则a5等于（　　） A． B． C． D． 参考答案： B 【考点】8H：数列递推式． 【分析】根据数列的递推关系，结合等差数列的性质，令n=4或n=5，建立方程组进行求解即可． 【解答】解：令n=4，则a5+a4=4，令n=5， 则a6+a5=5，两式相加2a5+a4+a6=9， ∴a5=． 故选：B． 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且，若点P在椭圆上，且满足，则该椭圆的离心率等于(    ) A．           B．        C．             D． 参考答案： A 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数，函数，则不等式的解集为_______. 参考答案： [－2,2] 因为，，故是偶函数， 故 可画出的图像， 令 故解集为. 故答案为：.   12. 若f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0，则f（x）=          ． 参考答案： x2﹣4x+3 【考点】函数的值． 【专题】计算题；函数思想；待定系数法；函数的性质及应用． 【分析】由已知条件利用待定系数法能求出f（x）． 【解答】解：∵f（x）=x2+bx+c，且f（1）=0，f（3）=0， ∴， 解得b=﹣4，c=3， ∴f（x）=x2﹣4x+3． 故答案为：x2﹣4x+3． 【点评】本题考查函数解析式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用． 13. 若方程在区间上有解，则所有满足条件的实数值的和为    ． 参考答案： 14. 已知命题P：[0,l],，命题q：“R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是                     ； 参考答案：   15. 函数y=的最小值是　　． 参考答案： 【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数的最值及其几何意义． 【分析】将函数化为y=（+）+，注意运用基本不等式和二次函数的最值，同时注意最小值取得时，x的取值要一致，即可得到所求最小值． 【解答】解：函数y== =+ =（+）+ ≥2+=． 当且仅当=，即有x=0，取得等号． 则函数的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查基本不等式的运用：求最值，注意求最值的条件：一正二定三等，属于中档题和易错题． 16. 已知复数（为虚数单位），则______________。 参考答案： 【知识点】复数求模．L4 因为，所以， 故答案为。 【思路点拨】通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果． 17. 如图，在中，，点P是BN上一点，若则实数值为            参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本小题满分13分）已知椭圆E：x2/a2＋y2/b2＝1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6． （1）求椭圆E的方程； （2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值． 参考答案： 19. （12分）如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M、N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1、C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点纵坐标从大到小依次为A、B、C、D． （1）设e=，求|BC|与|AD|的比值； （2）若存在直线l，使得BO∥AN，求椭圆离心率e的取值范围．   参考答案： 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】（1）由题意设椭圆方程，联立即可求得A和B坐标，当时，，分别用yA、yB表示A、B的纵坐标，； （2）分类，当t=0时的l不符合题意，当t≠0时，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，根据斜率公式求得t，由，即可椭圆离心率e的取值范围． 【解答】解：（1）因为C1、C2的离心率相同， 故依题意可设． 设直线l：x=t（|t|＜a）分别和C1、C2的方程联立， 求得． 当时，，分别用yA、yB表示A、B的纵坐标， ∴． |BC|与|AD|的比值； （2）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO∥AN，当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等， 即：，解得． 因为|t|＜a，又0＜e＜1， 所以，解得． ∴当时，存在直线l，使得BO∥AN，即离心率e的取值范围是， ∴椭圆离心率e的取值范围． 【点评】本题考查椭圆离心率的应用，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题． 　 20. 如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m，渠深为1.8 m，边坡的倾斜角是45°. (1)试将横断面中水的面积A(m2)表示成水深h(m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象． 参考答案： (2)定义域为{h|0＜h＜1.8}．值域由二次函数A＝h2＋2h(0＜h＜1.8)求得．由函数A＝h2＋2h＝(h＋1)2－1的图象可知，在区间(0，1.8)上函数值随自变量的增大而增大， ∴0＜A＜6.84. 故值域为{A|0＜A＜6.84}． (3)函数图象如下确定． 由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如下图所示． 点评：建立函数解析式的关键是找到自变量、对应关系和函数值．对于实际问题，函数的定义域除了使解析式有意义外，还要考虑到它的实际意义． 21. 已知函数f（x）=﹣lnx，m，n∈R． （Ⅰ）若函数f（x）在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y=0平行，求实数n的值； （Ⅱ）试讨论函数f（x）在区间[1，+∞）上最大值； （Ⅲ）若n=1时，函数f（x）恰有两个零点x1，x2（0＜x1＜x2），求证：x1+x2＞2． 参考答案： 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据f′（2）=1，求出n的值即可； （Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论n的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （Ⅲ）求出m=+lnx1=+lnx2，得到=ln，设t=＞1，得到故x1+x2=x1（t+1）=，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）由f′（x）=，f′（2）=， 由于函数f（x）在（2，f（2））处的切线与直线x﹣y=0平行， 故=1，解得n=6． （Ⅱ）f′（x）=，（x＞0）， 由f′（x）＜0时，x＞n；f′（x）＞0时，x＜n， 所以①当n≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减， 故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=m﹣n； ②当n＞1，f（x）在[1，n）上单调递增，在（n，+∞）上单调递减， 故f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（n）=m﹣1﹣lnn； （Ⅲ）证明：n=1时，f（x）恰有两个零点x1，x2，（0＜x1＜x2）， 由f（x1）=﹣lnx1=0，f（x2）=﹣lnx2=0， 得m=+lnx1=+lnx2， 故=ln，设t=＞1，lnt=，x1=， 故x1+x2=x1（t+1）=， ∴x1+x2﹣2=， 记函数h（t）=﹣lnt，因h′（t）=＞0， ∴h（t）在（1，+∞）递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0， 又t=＞1，lnt＞0，故x1+x2＞2成立． 22. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点． （1）求椭圆C的方程； （2）、是椭圆上两点，A、B是椭圆位于直线PQ两侧的两动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足，试问直线AB的斜率是否为定值，请说