湖北省武汉市潢川县高级中学高二数学理期末试题含解析

湖北省武汉市潢川县高级中学高二数学理期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 复数等于 A.            B.              C.              D. 参考答案： A 略 2. 依据表 P（K2≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001    k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6. 635 7.879 10.828 下列选项中，哪一个样本所得的k值没有充分的证据显示“X与Y有关系”（      ） A . k=6.665         B.  k=3.765        C.  k=2.710          D.  k=2.700 参考答案： C 3. 对实数、，定义运算“”： =，设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是 A.                         B. C.                 D. 参考答案： D 4. 设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 A．       B.     C．       D. 参考答案： D 5. 如图所示的程序框图中，当x=1时，输出的y的值是   A.  2     B． 1     C．-2       D． 参考答案： A 6. 若点P( x，y )的坐标适合方程arcsin x = arccos y，则点P组成的图形是（   ） （A）一个圆       （B）四分之三个圆       （C）半个圆       （D）四分之一个圆 参考答案： D 7. 已知，其中是实数，是虚数单位，则＝(  　)   A．1＋2i       B．1－2i      C．2－i    D．2＋i   参考答案： D 略 8. 下列求导运算正确的是（    ） A. B. C. D. 参考答案： B A，，故错误； B，，正确； C，，故错误； D，，故错误. 故选B. 点睛：常用求导公式：. 9. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a=+1，b=2，c=，那么角C的大小是（　　） A．30° B．45° C．60° D．120° 参考答案： A 【考点】余弦定理． 【分析】利用余弦定理求出cosC的值，然后根据角的范围求出角的度数． 【解答】解：根据余弦定理得cosC=== ∵C∈（0，π） ∴∠C=30° 故选A． 10. 已知定义在R上的函数，其导函数/（x）的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是 A  ＞＞   B  ＞ ＞ C  ＞＞   D  ＞ 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知△ABC的面积为，且b=2，c=，则                    参考答案： 或 12. 右边程序输出的结果是      ． 参考答案： 10 13. 已知i为虚数单位，是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则          ． 参考答案： 38 把 代入方程得 ， 所以 ， 所以 ， 所以所以p+q=38.故答案为：38.   14. 设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝       参考答案： -11 15. 在平面直角坐标系中，若圆上存在，两点关于点成中心对称，则直线的方程为                  . 参考答案： 16. 已知若是实数，则实数的值等于__________ 参考答案： -1  17. 已知，其中n∈R，i是虚数单位，则n=　    　． 参考答案： 1 【考点】复数相等的充要条件． 【分析】化简原式可得2=1+n+（n﹣1）i，由复数相等可得，解之即可． 【解答】解：∵，∴2=（1﹣i）（1+ni）， 化简可得2=1+n+（n﹣1）i， 由复数相等可得，解得n=1， 故答案为：1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知数列的前项和为，，满足 (1)计算、、、，并猜想的表达式；  （2）用数学归纳法证明你猜想的的表达式。（13分） 参考答案： （1） 猜想 （2）①当时，结论显然成立      ②假设时结论成立，即    由可知：      即当时结论也成立。    根据①②可知结论对任何都成立 略 19. 已知椭圆的右焦点为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值. 参考答案： (1)由题意得       得 a=2,所以 =4， 结合，解得 =3， 所以，椭圆的方程为---------------------4分 (2)   由     消去得：（3+4k2）x2+8kx-8=0 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以---------6分 依题意知，OM⊥ON，且, ----------------9分 即(x1+1) (x2+1)+(k x1+1) (k x2+1)=0 整理得： 所以 整理得：4k2+4k+1=0   所以           --------------------------12分 20. 已知函数f（x）=x3﹣ax2，a∈R． （1）求y=f（x）的单调区间； （2）若曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，求实数a的取值范围． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性． 【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可； （2）把曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点转化为关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根，进一步转化为方程a=x﹣+只有一个实根．构造函数 g（x）=x﹣+，利用导数分析其单调性，并画出其图象大致形状，数形结合可得方程a=x﹣+只有一个实根时的实数a的取值范围． 【解答】解：（1）f′（x）=3x2﹣2ax=x（3x﹣2a） 当a=0时，R上y=f（x）单调递增； 当a＞0时，（﹣∞，0），为y=f（x）增区间，为y=f（x）减区间； 当a＜0，，（0，+∞）为y=f（x）增区间，为y=f（x）减区间； （2）曲线y=f（x）与直线y=x﹣1只有一个交点，等价于关于x的方程ax2=x3﹣x+1只有一个实根． 显然x≠0， ∴方程a=x﹣+只有一个实根． 设函数g（x）=x﹣+，则g′（x）=1+﹣=． 设h（x）=x3+x﹣2，h′（x）=3x2+1＞0，h（x）为增函数，又h（1）=0． ∴当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）为增函数； 当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）为减函数； 当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）为增函数； ∴g（x）在x=1时取极小值1． 又当x趋向于0时，g（x）趋向于正无穷；当x趋向于负无穷时，g（x）趋向于负无穷； 又当x趋向于正无穷时，g（x）趋向于正无穷． ∴g（x）图象大致如图所示： ∴方程a=x﹣+只有一个实根时，实数a的取值范围为（﹣∞，1）． 21. 如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且∠EDF=∠ECD． （1）求证：△DEF∽△PEA； （2）若EB=DE=6，EF=4，求PA的长． 参考答案： 【考点】相似三角形的判定． 【分析】（1）证明∠APE=∠EDF．又结合∠DEF=∠AEP即可证明△DEF∽△PEA； （2）利用△DEF∽△CED，求EC的长，利用相交弦定理，求EP的长，再利用切割线定理，即可求PA的长． 【解答】（本题满分为10分） 解：（1）证明：∵CD∥AP， ∴∠APE=∠ECD， ∵∠EDF=∠ECD， ∴∠APE=∠EDF． 又∵∠DEF=∠AEP， ∴△DEF∽△PEA．… （2）∵∠EDF=∠ECD，∠CED=∠FED， ∴△DEF∽△CED， ∴DE：EC=EF：DE，即DE2=EF?EC， ∵DE=6，EF=4，于是EC=9． ∵弦AD、BC相交于点E，∴DE?EA=CE?EB． … 又由（1）知EF?EP=DE?EA，故CE?EB=EF?EP，即9×6=4×EP， ∴EP=．   … ∴PB=PE﹣BE=，PC=PE+EC=， 由切割线定理得：PA2=PB?PC，即PA2=×，进而PA=．… 22. 设等差数列的前n项和为.已知与的等比中项为，且与的等差中项为1，求的通项公式. 参考答案： 解：设等差数列的首项为，公差为d. 由条件知         +=2 即解得或 或