湖北省宜昌市五峰第一高级中学2022年高一数学理月考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知单位向量,,满足.若点在内,且,,则下列式子一定成立的是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
D
【分析】
设,对比得到答案.
【详解】设 ,则
故答案为D
【点睛】本题考查了向量的计算,意在考查学生的计算能力.
2. 动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是 (,),则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1] B.[1,7] C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]
参考答案:
D
【考点】函数单调性的判断与证明.
【分析】由动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,可知与三角函数的定义类似,由12秒旋转一周能求每秒钟所转的弧度,画出单位圆,很容易看出,当t在[0,12]变化时,点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调性的变化,从而得单调递增区间.
【解答】解:设动点A与x轴正方向夹角为α,则t=0时,每秒钟旋转,在t∈[0,1]上,在[7,12]上,动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的.
故选D.
3. 设f:x→x2是从集合A到集合B的映射,如果B={1,2},则A∩B为( )
A.? B.{1} C.?或{2} D.?或{1}
参考答案:
D
【考点】映射;交集及其运算.
【专题】计算题.
【分析】根据映射的定义,先求出集合A中的像,再求A∩B.
【解答】解:由已知x2=1或x2=2,
解之得,x=±1或x=±.
若1∈A,则A∩B={1},
若1?A,则A∩B=?.
故A∩B=?或{1},
故选D.
【点评】要注意,根据映射的定义,集合A中的像是A={x=±1或x=±},它有多种情况,容易选B造成错误.
4. 若函数为定义域上的单调函数,且存在区间(其中),使得当时,的取值范围恰为,则称函数是上的正函数。若函数是上的正函数,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
5. 空间中可以确定一个平面的条件是( )
A. 三个点 B. 四个点 C. 三角形 D. 四边形
参考答案:
C
【分析】
根据公理2即可得出答案。
【详解】在A中,不共线的三个点能确定一个平面,共线的三个点不能确定一个平面,故A错误;在B中,不共线的四个点最多能确定四个平面,故B错误;
在C中,由于三角形的三个顶点不共线,因此三角形能确定一个平面,故C正确;
D中,四边形有空间四边形和平面四边形,空间四边形不能确定一个平面,故D错误.
【点睛】本题对公理2进行了考查,确定一个平面关键是对过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面的理解。
6. 实数满足,求目标函数的最小值( )
A.1 B.0 C.-3 D.5
参考答案:
C
7. 已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
参考答案:
C
【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】化f(x)为正弦型函数,令f(x)=1求出x的值,利用曲线y=f(x)与直线y=1的交点中相邻交点距离的最小值为,得出ω|x2﹣x1|=﹣,从而求出ω和f(x)的最小正周期T.
【解答】解:函数f(x)=sinωx+cosωx=sin(ωx+),
令f(x)=1,得sin(ωx+)=,
∴ωx+=+2kπ,k∈Z,
或ωx+=+2kπ,k∈Z;
又在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,相邻交点距离的最小值为,
∴ω|x2﹣x1|=﹣,
即ω=,
解得ω=2,
∴f(x)的最小正周期为T==π.
故选:C.
【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题,是基础题目.
8. 已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|x≤4,x∈Z},则A∩B=( )
A.(1,3) B. C.{1,3} D.{1,2,3}
参考答案:
D
【考点】交集及其运算.
【分析】集合A与集合B的公共元素构成集合A∩B,由此利用集合A={x|1≤x≤3},B={x|x≤4,x∈Z},能求出A∩B.
【解答】解:∵集合A={x|1≤x≤3},B={x|x≤4,x∈Z},
∴A∩B={1,2,3}.
故选D.
【点评】本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化.
9. 在等比数列{}中,已知,,则( )
A、1 B、3 C、 D、±3
参考答案:
10. 已知向量,则的值为( ).
A. B.3 C.1 D.
参考答案:
C
略
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 比较大小:
参考答案:
12. 幂函数的图像过点,那么的解析式是____.
参考答案:
略
13. 已知定义在上的函数是偶函数,且时,,
当时, 解析式是 .
参考答案:
14. 函数y=loga(2x﹣3)+1的图象恒过定点P,则点P的坐标是 .
参考答案:
(2,1)
【考点】对数函数的单调性与特殊点.
【专题】计算题.
【分析】由loga1=0,知2x﹣3=1,即x=2时,y=1,由此能求出点P的坐标.
【解答】解:∵loga1=0,
∴2x﹣3=1,即x=2时,y=1,
∴点P的坐标是P(2,1).
故答案为:(2,1).
【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点,解题时要认真审题,仔细解答,避免出错.
15. 如图所示,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中正确的是 .
①EF∥平面ABCD;
②平面ACF⊥平面BEF;
③三棱锥E﹣ABF的体积为定值;
④存在某个位置使得异面直线AE与BF成角30°.
参考答案:
①②③④
【考点】命题的真假判断与应用.
【分析】①,由EF∥平面ABCD判定;
②,动点E、F运动过程中,AC始终垂直面BEF;
③,三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值,A到面BEF的距离为定值,故其体积为定值,;
④,令上底面中心为O,当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是∠OBC1,可求解∠OBC1=300.
【解答】解:如图:
对于①,∵面ABCD∥面A1B1C1D1,EF?面A1B1C1D1,∴EF∥平面ABCD,故正确;
对于②,动点E、F运动过程中,AC始终垂直面BEF,∴平面ACF⊥平面BEF,故正确;
对于③,三棱锥E﹣ABF的底△BEF的面积为定值,A到面BEF的距离为定值,故其体积为定值,故正确;
对于④,令上底面中心为O,当E与D1重合时,此时点F与O重合,则两异面直线所成的角是∠OBC1,可求解∠OBC1=30°,故正确.
故答案为:①②③④
16. 若直线始终平分圆的周长,则的最小值为
参考答案:
17. 函数的最小正周期是
参考答案:
略
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本小题满分14分)
已知函数
(1)证明函数是R上的增函数;
(2)求函数的值域;
(3)令,判定函数的奇偶性,并证明。
参考答案:
19. (本题8分)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,D是⊙O上的一点,且AD//CO。
(1)求证:△ADB∽△OBC;
(2)若AB=2,BC=,求AD的长。(结果保留根号)
参考答案:
解:(1)
∴△ADB∽△OBC
20. 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的一个零点为,其图象距离该零点最近的一条对称轴为x=.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)若关于x的方程f(x)+log2k=0在x∈[,]上恒有实数解,求实数k的取值范围.
参考答案:
【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
【分析】(Ⅰ)由函数的零点列式得到?ω+φ=kπ,再由已知求得周期,进一步求得ω,则φ可求,函数解析式可求;
(Ⅱ)由x的范围求得相位的范围,进一步求出函数值域,再由方程f(x)+log2k=0在x∈[,]上恒有实数解即可求得k的范围.
【解答】解:(Ⅰ)由题意,f()=2sin(?ω+φ)=0,即?ω+φ=kπ,①
,即T=,得ω=2,代入①得φ=,取k=1,得φ=.
∴f(x)=2sin(2x);
(Ⅱ)∵x∈[,],∴∈[],得f(x)∈[﹣1,].
由f(x)+log2k=0,得log2k=﹣f(x)∈[﹣1,].
∴k∈[,].
21. (本小题满分14分)
已知半径为的圆的圆心在轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线相切.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线与圆相交于两点,求实数的取值范围;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数,使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由.
参考答案:
解:(Ⅰ)设圆心为().由于圆与直线相切,且半径为,所以 ,即.因为为整数,故.
故所求圆的方程为. …………………………………4分
(Ⅲ)设符合条件的实数存在,由于,则直线的斜率为
的方程为,即
由于垂直平分弦AB,故圆心必在上,
所以,解得。由于,故存在实数 ks5u
使得过点的直线垂直平分弦AB………………………14分
略
22. (本小题14分)已知函数定义在(―1,1)上,对于任意的,有
,且当时,。
(1)验证函数是否满足这些条件;
(2)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性,并加以证明;
(3)若,求方程的解。
参考答案:
① ∴-1
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