湖北省宜昌市夷陵区鸦鹊岭高级中学2022年高三数学理月考试卷含解析

湖北省宜昌市夷陵区鸦鹊岭高级中学2022年高三数学理月考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 若a、b是任意实数，且a>b，则下列不等式恒成立的是(     ) A.         B.          C.         D. 参考答案： D 略 2. 在复平面内为坐标原点, 复数与分别对应向量和,则=（     ） A.        B.         C.         D. 参考答案： B 3. 某超市有三类食品,其中果蔬类、奶制品类及肉制品类分别有20种、15种和10种, 现采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本进行安全检测，若果蔬类抽取4种，则n为 A. 3        B. 2       C. 5        D. 9 参考答案： D 4. 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都是5海里，灯塔A在观察站C的北偏东20o，灯塔B在观察站C的南偏东40o，则灯塔A与灯塔B的距离为（  ）     A．5海里    B． 10海里    C．5海里    D．5海里   参考答案： D 略 5. 运行如图所示的算法框图，则输出的结果S为（　　） A． B．0 C．﹣1 D． 参考答案： A 【考点】程序框图． 【分析】模拟程序运行数据，结合三角函数的周期为6，由于一个周期的和为0，2017=371×6+1，即可得到输出值． 【解答】解：当n=1，S=0，即有S=cos=； n=2，即有S=+cos=﹣=0； n=3，即有S=0+cosπ=﹣1； n=4，即有S=﹣1+cos=﹣1+（﹣）=﹣； n=5，即有S=﹣+cos=﹣+=﹣1； n=6，即有S=﹣1+cos2π=﹣1+1=0． n=7，即有S=0+cos=； … 由于2017=371×6+1 n=2017，即有S=0×371+=， 故选：A． 6. 从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为（    ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A．         B．            C．3             D． 参考答案： 【解析】本小题主要考查平均数、方差、标准差的概念及其运算。   答案：B 7. 若函数在区间[1,2]上单调递增，则的最小值是（   ） A. -3 B. -4 C. -5 D. 参考答案： B 【分析】 由题意可知函数在区间[1,2]上单调递增，等价于在[1,2]上恒成立，即在上恒成立，结合二次函数在某个闭区间上的最值，求得结果. 【详解】函数在[1,2]上单调递增， 所以在[1,2]上恒成立， 即在上恒成立， 令，其对称轴为， 当即时，在上恒成立等价于， 由线性规划知识可知，此时； 当即时，在[1,2]上恒成立等价于， ，即； 当即时，在[1,2]上恒成立等价于， 此时； 综上可知，，故选B. 【点睛】该题考查的是有关式子的最值的问题，涉及到的知识点有函数在给定区间上单调对应的等价条件，二次函数在给定区间上的最小值的求解，属于较难题目. 8. 设函数f（x）的定义域为D，如果?x∈D，?y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给出下列四个函数： ①y=sinx； ②y=2x； ③y=； ④f（x）=lnx， 则其中“Ω函数”共有(     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 参考答案： C 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的值． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据函数的定义，将条件转化为f（x）+f（y）=0，判断函数是否满足条件即可． 【解答】解：若?x∈D，?y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立， 即等价为?x∈D，?y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立． A．函数的定义域为R，∵y=sinx是奇函数， ∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）+f（﹣x）=0，∴当y=﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴A为“Ω函数”． B．∵f（x）=2x＞0，∴2x+2y＞0，则等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函数”． C．函数的定义域为{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得，即， ∴x+y﹣2=0，即y=2﹣x，当x≠1时，y≠1，∴当y=2﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴C为“Ω函数”． D．函数的定义域为（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即当y=时，等式（x）+f（y）=0成立，∴D为“Ω函数”． 综上满足条件的函数是A，C，D，共3个， 故选：C 【点评】本题主要考查函数与方程之间的关系，将条件转化为f（x）+f（y）=0是解决本题的关键． 9. 下列函数中，既是偶函数，又在（0,1）上单调递增的函数是（     ） A．                       B． C．                          D． 参考答案： C 10. 已知i是虚数单位，则复数i（1+i）的共轭复数为（　　） A．1+i B．l﹣i C．﹣l+i D．﹣l﹣i 参考答案： D 【考点】复数的基本概念． 【专题】转化思想；数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出． 【解答】解：复数i（1+i）=i﹣1的共轭复数为﹣i﹣1， 故选：D． 【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 直线y=x+3的倾斜角为    ▲   参考答案： 12. 如图3，是圆的直径， 、是圆的切线，切点为、，．则         ．   参考答案： 略 13. 已知函数若， 则实数的取值范围是_    _. 参考答案： 14. 将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为         ． 参考答案： 由三角数阵可知：第一行有一个数，第二行有两个数，第三行有三个数，……，所以前n-1行共有：，所以第n行的第一个数为，所以第n行（n≥3）从左向右的第3个数为。 15. 过点（0，－4）与曲线y＝x3＋x－2相切的直线方程是               参考答案： y=4x-4 16. 设，若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围是          ． 参考答案： 17. 以抛物线的顶点为中心，焦点为右焦点，且以为渐近线的双曲线方程是___________________ 参考答案： 抛物线的焦点为，即双曲线的的焦点在轴，且，所以双曲线的方程可设为，双曲线的渐近线为，得，所以，，即，所以，所以双曲线的方程为。 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A1B1=2，AA1=h，E为BB1的中点． （1）若h=2，请画出该正三棱柱的正（主）视图与左（侧）视图． （2）求证：平面A1EC⊥平面AA1C1C； （3）当平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为45°时，求该正三棱柱外接球的体积． 参考答案： 【分析】（1）计算底面三角形的高，得出左视图的边长，再画出三视图即可； （2）连接AC1交A1C于F，取A1C1的中点M，连接EF，FM，MB1，通过证明MB1⊥平面AA1C1C，MB1∥EF得出EF⊥平面AA1C1C，从而有平面A1EC⊥平面AA1C1C； （3）建立坐标系，利用向量法求出h，得出外接球的球心坐标，再计算球的半径得出球的体积． 【解答】解：（1）∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的高为， 又h=2，∴正视图为边长为2的正方形，左视图为边长为2和的矩形， 作出正（主）视图与左（侧）视图如下： （2）连接AC1交A1C于F，取A1C1的中点M，连接EF，FM，MB1， ∵四边形ACC1A1是矩形，∴F是AC1的中点， 又M是A1C1的中点，∴FMAA1， ∵E是BB1的中点，AA1BB1， ∴FMEB1，∴四边形EFMB1是平行四边形， ∴EF∥MB1， ∵△A1B1C1是正三角形，∴MB1⊥A1C1， ∵AA1⊥平面A1B1C1，MB1?平面A1B1C1， ∴AA1⊥MB1，又AA1∩A1C1=A1， ∴MB1⊥平面ACC1A1，又MB1∥EF， ∴EF⊥平面ACC1A1，又EF?平面A1EC， ∴平面A1EC⊥平面AA1C1C． （3）以M为原点，以MC1，MB1，MF所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系M﹣xyz，如图所示： 则A1（﹣1，0，0），E（0，，），C（1，0，h）， ∴=（1，，），=（2，0，h）， 设平面A1EC的法向量为=（x，y，z），则， 令z=1得=（﹣，0，1）， 又AA1⊥平面A1B1C1，∴=（0，0，1）是平面A1B1C1的一个法向量， ∵平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为45°， ∴|cos＜＞|===，∴h=2， ∴设△A1B1C1的中心为N，则N（0，，0）， ∴正三棱柱外接球的球心为P（0，，1）， ∴外接球的半径r=PA1==， ∴外接球的体积V==． 19. 已知函数 （Ⅰ）解不等式：；    （Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围。 参考答案： 略 20. 将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求： （Ⅰ）两数之和为5的概率； （Ⅱ）两数中至少有一个为奇数的概率. 参考答案： （Ⅰ）；（Ⅱ）. 将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件． (Ⅰ)记“两数之和为5”为事件A，则事件A中含有4个基本事件，所以 P(A)＝＝. 答：两数之和为5的概率为.            6分 (Ⅱ)记“两数中至少有一个为奇数”为事件B，则事件B与“两数均为偶数”为对立事件，所以P(B)＝1－＝. 答：两数中至少有一个为奇数的概率为.                   12分 21. 已知各项均为正数的数列前n项和为，首项为，且等差数列。 （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）若，设，求数列的前n项和. 参考答案： 解（1）由题意知  当时， 当时， 两式相减得 整理得： ∴数列是以为首项，2为公比的等比数列。 ∴， ① ② ①-②得                        略 22. 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，已知a2=2，S5=15．公比为2的等比数列{bn}满足b2+b4=60． （Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）设，求数列{cn}的前n项和Tn． 参考答案： 【考点】数列递推式；数列的求和． 【专题】综合题；方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】（I）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出； （II）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d， 由a2=2，S5=15， ∴， 解得， ∴an=1+（n﹣1）=n． ∵公比为2的等比数列{bn}满足b2+b4=60． ∴=60， 解得b1=6， ∴bn=6×2n﹣1=3×2n． （Ⅱ）==?， 则Tn=． 令Rn=+…+． 则=++…++． 两式作差得： =+…+﹣=﹣=