湖北省咸宁市咸安区横沟高级中学高三数学文月考试题含解析

湖北省咸宁市咸安区横沟高级中学高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是坐标原点，若，则△的面积为（   ） A． B． C． D． 参考答案： B 略 2. 如图是一个边长为4的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷800个点，其中落入黑色部分的有453个点，据此可估计黑色部分的面积约为（　　） A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 参考答案： C 【分析】 计算正方形二维码的面积，利用面积比等于对应的点数比，即可求出黑色部分的面积. 【详解】因为边长为4的正方形二维码面积为，设图中黑色部分的面积为， 则，所以. 故选C 【点睛】本题主要考查模拟方法估计概率，熟记模拟估计方法即可，属于基础题型. 3. 假设在5秒内的任何时刻，两条不相关的短信机会均等地进人同一部手机，若这两条短信进人手机的时间之差小于2秒，手机就会受到干扰，则手机受到干扰的概率为 A．          B．          C．          D． 参考答案： D 略 4. 在复平面内，复数对应的点位于 （A）第一象限                       （B）第二象限  （C）第三象限                       （D）第四象限 参考答案： A 5. 已知各项均为正数的等比数列中，成等差数列，则     A.或3     B.3      C.27     D.1或27 参考答案： C 略 6. 命题：的否定是 A．          B． C．           D． 参考答案： D 略 7. 已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若，则 A.                      B.      C.       D. 参考答案： B 8. 设x，y满足的约束条件，则的最大值为 （A）8    （B）7   （C）2  （D）1 参考答案： B 9. 已知函数，若，则（   ）               参考答案： A ，，所以解得 10. 已知函数若存在，，且，使，则实数a的取值范围为（   ） A．a＜2 B．3＜a＜5 C．a＜2或3＜a＜5  D．2≤a≤3或a≥5 参考答案： C 当时，，，故符合题意，排除选项，当时，画出图象如下图所示，由图可知此时符合题意，排除选项，故选.   二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B=　　． 参考答案： {（﹣1，3）} 【考点】交集及其运算． 【专题】计算题． 【分析】联立A与B中两方程，求出方程组的解即可确定出两集合的交集． 【解答】解：由A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}， 联立得：， 解得：， 则A∩B={（﹣1，3）}． 故答案为：{（﹣1，3）} 【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 12. 如图是两个腰长均为10cm的等腰直角三角形拼成的一个四边形ABCD，现将四边形ABCD沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，则三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为　　cm3． 参考答案： 500 【考点】球的体积和表面积． 【分析】先确定三棱锥A﹣BCD的外接球直径为AC，再根据图中数据求出外接球的半径R，从而求得体积． 【解答】解：四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°， ∴AB⊥BD，CD⊥BD； ∵沿BD折成直二面角A﹣BD﹣C，如图所示； ∴AB⊥平面BCD，CD⊥平面ABD， ∴AB⊥BC，CD⊥DA； ∴三棱锥A﹣BCD的外接球的直径为AC， 且|AC|2=|AB|2+|BD|2+|CD|2=102+102+102=300 ∴外接球的半径为R=5，它的体积为?=500π． 故答案为：500π． 13. 函数的值域是 ______________． 参考答案： [-2,1] 14. 函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是____________. 参考答案：       15. 某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积为cm3． 参考答案： 20 考点：由三视图求面积、体积． 专题：空间位置关系与距离． 分析：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体，画出其直观图，进而根据棱柱和棱锥体积公式，可得答案． 解答： 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱柱挖去一个三棱锥所得的组合体， 如下图所示： 故该几何体的体积V===20， 故答案为：20 点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，由已知中的三视图分析出几何体的形状是解答的关键． 16. 设函数，若，则a=_______． 参考答案： 【分析】 当时，解方程，求出值，判断是否存在； 当时，解方程，求出的值，判断是否存在，最后确定的值. 【详解】当时， ，而，故舍去； 当时， ，所以. 【点睛】本题考查了分段函数求值问题，考查了分类运算能力. 17. 若函数在是增函数，求a的范围是__________________ 参考答案： 略 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，为等边三角形，平面平面，且，为的中点． （1）求证：； （2）在棱上是否存在点，使与平面成角正弦值为，若存在，确定线段的长度，不存在，请说明理由． 参考答案： 解（1）证明：连接，，因为平面平面，为等边三角形，为的中点，所以平面，        …… 2分 因为四边形为菱形，且，为的中点，所以…… 4分 ，所以面，所以     …… 6分 （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系…… 7分 因为点在棱上，设，面法向量 ， 所以，                                       …… 9分 ，解得，    …… 11分     所以存在点，                                     …… 12分   略 19. 在底面为正方形的四棱锥S﹣ABCD中，AD⊥平面ABCD，E、F是AS、BC的中点， （Ⅰ）求证：BE∥平面SDF； （Ⅱ）若AB=5，求点E到平面SDF的距离． 参考答案： 【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）取SD的中点Q，连接QF、QE，证明BFQE为平行四边形，可得BE∥QF，即可证明：BE∥平面SDF； （Ⅱ）若AB=5，利用等体积方法求点E到平面SDF的距离． 【解答】证明：（Ⅰ）取SD的中点Q，连接QF、QE， 由于点E为侧棱AS的中点，Q为SD的中点 故在△DAS中，QE， 由于F是BC的中点 故BF， 故QE 故BFQE为平行四边形 故BE∥QF，又QF?平面EFD1，BE?平面EFD1 故BE∥平面SDF； 解：（Ⅱ）由DS⊥面ABCD， 又AB?面ABCE，故DS⊥AB 又AB⊥AD，故AB⊥面ADS，又BC∥面ADS 故F到面ADS的距离为AB的长，即为5． 设点E到平面SDF的距离为h． 又VF﹣SED=VE﹣SDF故 20. （本小题满分12分） 如图（1），是等腰直角三角形，其中，分别为的中点，将沿折起，点的位置变为点，已知点在平面上的射影为的中点，如图（2）所示． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 参考答案： 21. 团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高效的消费方式，不少商家同时加入多家团购网，现恰有三个团购网站在A市开展了团购业务，A市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示． （Ⅰ）从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率； （Ⅱ）从所调查的50家商家中任选两家，用ξ表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列和数学期望； （Ⅲ）将频率视为概率，现从A市随机抽取3家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为η，试求事件“η≥2”的概率． 参考答案： 【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（I）设“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量不相等”为事件A，则表示事件“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量相等”，则P（A）=1﹣P． （II）ξ的取值为0，1，2．P（ξ=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=．即可得出ξ的分布列与数学期望． （III）所调查的50家商家中加入两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A市任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率P==，可得η～B，事件“η≥2”的概率P（η≥2）=P（η=2）+P（η=3），即可得出． 【解答】解：（I）设“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量不相等”为事件A，则表示事件“从所调查的50家商家中任选两家，他们加入团购网站的数量相等”，则P（A）=1﹣P=1﹣=． （II）ξ的取值为0，1，2．P（ξ=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==． ξ的分布列为： ξ 0 1 2 P E（X）=0×+1×+2×=． （III）所调查的50家商家中加入两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A市任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率P==，可得η～B，事件“η≥2”的概率 P（η≥2）=P（η=2）+P（η=3）=+=． 22. （12分）在如图所示的多面体中，底面△ABC是边长为2的正三角形，DA和EC均垂直于平面ABC，且DA = 2，EC = 1． （Ⅰ）求点A到平面BDE的距离； （Ⅱ）求二面角B–ED–A的正切值． 参考答案： 解析：（Ⅰ）∵DE = BE =，BD =， ∴S△BDE =，设点A到平面BDE的距离为h． 又∵S△ABC =，VD–ABC = VA–BDE ∴    ∴h = 即点A到平面BDE的距离为． ……6分 （Ⅱ）∵DA⊥平面ABC，∴平面DACE⊥平面ABC 取AC的中点M，连结BM，则BM⊥AC，BM⊥平面DACE． 过M作MN⊥DE，交DE于N，连结BN，则BN⊥DE， ∴∠BNM是所求二面角的平面角． 设AC、DE的延长线相交于点P，∵DA = 2EC，∴CP = 2 由△MNP∽△DAP得，MP = 3，DA = 2 DP =，∴MN = 又∵BM =，∴tan∠BNM =．  ……12分 应用空间向量求解参照计分