专题3.5 指数与指数函数新课程考试要求1.了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算2.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.核心素养培养学生数学抽象(例5)、数学运算(多例)、逻辑推理(例8)、直观想象(例6.7.9)等核心数学素养.考向预测1.指数幂的运算;2.指数函数的图象和性质的应用;3.与指数函数相关,考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等,常与的对数函数等结合考查,如比较函数值的大小;【知识清单】1.根式和分数指数幂1.n次方根定义一般地,如果xn=a,那么x叫做a的__n次方根__,其中n>1,且n∈N*个数n是奇数a>0x>0x仅有一个值,记为a<0x<0n是偶数a>0x有两个值,且互为相反数,记为±a<0x不存在2.根式(1)概念:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)性质:①()n=a.②=3.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.2.指数函数的图象和性质(1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是变量,函数的定义域是R,a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>100时,y>1;当x<0时,01;当x>0时,00且a≠1【答案】C【解析】由题意,得,解得a=2,故选C.考点四:指数函数的图象【典例6】(2021·吉林长春市·高三其他模拟(文))如图,①②③④中不属于函数,,的一个是( )A.① B.② C.③ D.④【答案】B【解析】利用指数函数的图象与性质即可得出结果.【详解】根据函数与关于对称,可知①④正确,函数为单调递增函数,故③正确.所以②不是已知函数图象.故选:B【典例7】(2020·浙江绍兴市阳明中学高三期中)函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是( )A. B.C. D.【答案】D【解析】就、分类讨论可得正确的选项.【详解】当时,为增函数,当时,且,故A,B 不符合.当时,为减函数,当时,,故C不符合,D符合.故选:D.【总结提升】1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.3.识图的三种常用方法(1)抓住函数的性质,定性分析:①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置;②从函数的单调性,判断图象的变化趋势;③从周期性,判断图象的循环往复;④从函数的奇偶性,判断图象的对称性.⑤从函数的特征点,排除不合要求的图象.(2)抓住函数的特征,定量计算:从函数的特征点,利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.(3)根据实际背景、图形判断函数图象的方法:①根据题目所给条件确定函数解析式,从而判断函数图象(定量分析);②根据自变量取不同值时函数值的变化、增减速度等判断函数图象(定性分析).4.过定点的图象 (1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a), .特别注意,指数函数的图象过定点(0,1);(2) 与的图象关于y轴对称;(3)当a>1时,指数函数的图象呈上升趋势,当0<a<1时,指数函数的图象呈下降趋势;简记:撇增捺减.【变式探究】1.(2020·上海高一课时练习)函数和(其中且)的大致图象只可能是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】由于过点,故D选项错误.当时,过且单调递增;过点且单调递增,过且.所以A选项错误.当时,过且单调递减,过点且单调递增,过且.所以B选项错误.综上所述,正确的选项为C.故选:C2.如图所示是下列指数函数的图象:(1)y=ax;(2)y=bx;(3)y=cx;(4)y=dx.则a,b,c,d与1的大小关系是 ( )A.a