考研网校线代强化讲义-章

第 一 章 行 列 式线性代数的特点是这些内容联系非常紧密。不但后面的知识用到前面的知识，而且有时前面的知识也用到后面的一些结论。因此，把它们串在一起学习，同学们会发现线性代数是1条主线，2种运算，3个工具。即：-条主线是方程组；二种运算是求行列式和求矩阵的初等 行（列）变换：三个工具是行列式，矩阵，向 量（组）。行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式。【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重:要应用：1.判定方阵是否可逆以及应用公式 M求逆矩阵;2.判定n个n维向量的线性相关性；3.计算矩阵的秩；4.讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解；5.求方阵的特征值；6.判定二次型及实对称矩阵的正定性。同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中,清大家注意及时归纳总结。相应知识点精讲一、行列式的定义1.行列式的形式：”个数排列成n行、n歹U,组装成一个正方形，两边画两根竖线，即形如：%1%?I%,称为一个门阶行列式。其中数即称为行列式的元素，横排的一行元素沏，如,如称为行列式的第i行，自上而下计序，共 有n行。竖排的一列元素的,2/=下称为行列式的第j歹U，自左向右计序，共有n歹（1。自左上角到右下角倾斜的一列元素，】与2,，氏*称为行列式的主对角线，自右上角到左下角倾斜的一列元素%*，出.1，,1称为行列式的次对角线或副对角线。2.行列式的值：行列式的数学属性是一个数，称为该行列式的值。当一个行列式的元素给定后，该行列式的值可通过特定的运算，从其元素计算得到。例如：（1）一阶行列式离的值规定即为其元素由i本身，即|an|=，L。all（2）二阶行列式的1all，即二阶行列式蚂1a12的？的值等于其主对角线元素的乘积减去次对角线元素的乘积。我们常常称之为二阶行列式的对角线法则。1 35 7【例 1】计算下列行列式的值：J 答疑编号：2120noi针对该题提问1 3=1x7 3x5=7-15=8【解】5 73.行列式的定义：献=工（一1严尸I，尸2 后即：非 2 个数构成的n 阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘枳的代数和。一共有刈项，一半带负号，一半带正号。其中小42,为任意一个n 级排列，皿 必,）为 n 级排列为，小，外的逆序数。我们知道n 级排列一共有加 种。4.五个特殊行列式的值下面介绍五个特殊行列式的值。（1）如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0,则此行列式的值为0。（2）如果一个行列式中有两行（两列）所有对应元素都成比例，则该行列式等于0.特别地，如果一个行列式中有两行（两列）相同，则该行列式等于0。a”au aln a11%*0 0 a（3）形 如U 1m的行列式称为上三角形行列式，其特点是主对角线下面的 元 素 全 为 0。上 三 角 形 行 列 式 的 值 等 于 其 主 对 角 线 上 所 有 元 素 的 乘 积，即：(4)形如000的行列式称为F三角形行列式，其特点是主对角线上面的元素全为00 o下三角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即:oax2(5)形如0000000的行列式称为对角形行列式，其特点是主对角线上面和下 面 的 元 素 全 为0。对角形行列式的值也等于其主对角线上所有元素的乘积，即:00ail0a22=alla22am000【例2】计算下列行列式的值:37(1)5114891200006101314 答疑编号:21201102针对该题提问(2)400051006-2207385 答疑编号:21201103针对该题提问(3)7101117101820222820293033393036708886704 答疑编号:2120no4针对该题提问解：375114891200006101314=0(2)400051006-2207385=40(3)7101117101820222820293033393036708886704二、行 列 式 的性质性 质1.转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。通 常，人 们 把 个 行 列 式 的 第i行元素依次写成第j列d =L2,3,/）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。如 果 原 行 列 式 记 作D,则其转置行列式记作少丁。由 性 质1知，。例4567如：01-230028000540005100=4 1 2 5 =406-2207385=4 1 2-5=40设 行 列 式,则 其 转 置 行 列 式D=，显 然 外 匕性质（两 列）2.互换性质：行 列 式 的 两 行（两 列）互换，其值变号.也就是说，交换行列式两行的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。3715D=1-7-3 5=7-1 5 =-8例 如已知A=5173=5-3-7 1 =15-7=8,显然,D=-D性 质3.数乘性质：若 行 列 式 的 某 行（某 列）有 公 因 子k,则可把公因子k提到行列式外11%12 ka-m=k%面。即：以畜1 Axanl以龙2电k 6 1%=11 出也 为 灿2%k%若把上述等式反过来看，即:,也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以ko性质4.倍加性质：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，力 口 到 另 行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。【例3】计算下列行列式的值:23151 12042361122 答疑编号:21201105针对该题提问解：本题可分成三步进行计算。1第一步：利用性质4可知，将原行列式23151 1204236的第2列的所有元素的-1倍，加122到 第 四 列 的 相 应 元 素 上 去，所 得 的 新 的 行 列 式 的 值 等 于 原 行 列 式 的 值，即23151 1204236112223151 12042361-11+12-22-023151 12042360202第二步：再将新行列式23151-12042360202的第2行的所有元素的-1倍，加到第四行的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即2 1 43-1 21 2 35 0 60 22 30=11-122 5-3 0+14 02 23 06-2 2-22 1 4 03-1 2 21 2 3 02 1 4 02 1 4 03-1 2 21 2 3 0的 第1行的所有元素的-1倍，加到第四行的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值，即第三步：将新行列式21402140214021403-1223 1223 1 22=012301230123021402-21-14-40-00000（因为，如果一个行列式中有一行或一列的元素全为0,则此行列式的值为0）综上所述，原行列式23151 12042361122o性质5.加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的利，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为 该 行（列），其 他 行（列）与原行列式相同。1+22+33+4q+,02+03=|q，Q2,嘲+q,0：2，的2 201-13 292 8【例4】计算下列行列式的值：一1 一 一5。答疑编号：21201106针对该题提问【解】分析发现，第二列元素均为三位数，但均接近于百位整数。所以利用性质5计算比较方便。23-1201-1 12 200+1-1292 8=3 300-8 8-95-5 -1-100+5-52200-121 -133008+3-8 8-1-100 5-15-52=3 1200300-100-18=0+0=0 5典型例题剖析【考点一】行列式按行、按列展开公式为:D=+。2&*。辰4=+。2上 4 心axkAik(尢=1,2 M)a000【例 51 n 阶 行 列 式b6 0 0 0a b 0 00 df 0 00 0 a b0 0 0 a 答 疑 编 号:21201107针对该题提问解：按第一列展开可得0 =白百1 +风1 =1+小(-1)加0=。+(-1)1+8【考 点 二】形如X1的行列式称为范德蒙行列式。范德蒙行列式的特点是:1 Y J 炉-1 -r其 每 列 元 素 L x 再 不 按 石 的 升 塞 排 列，构 成 一 个 等 比 数 列，第 二 行 的 元 素为，孙 ，、分别为每列元素的公比，且 第 一 行 元 素 为 1.范德蒙行列式的值为（电-西）3 -电）（勺一再）（4-X2）-（X -/_ 1）11112 3 1 TD=4 9 1 16【例 6 计算四阶行列式 8 27 1 一 64 答疑编号：2 1 2 0 1 1 0 8 针对该题提问解：根据范德蒙行列式得：11112 3 1 YD=4 9 1 168 27 1 -64=(3-2)(1-2)(1-3)(-4-2)(-4-3)(-4-1)=-420alD=右a 急*。2 M*【例 7】计算四阶行列式（其中勺，叼，“3，4 均不为0）答疑编号:2 1 2 0 no 9 针对该题提问解：把第一列提出彳，第二列提出不第三列提出为，第四列提出D=1 1,曳的 aA2 1MIM 1%,鼠M、3D=2 a3a4)4总号卷）【考点三】形如 的行列式称为三对角形（三斜线形）行列式。三对角形行列式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角形行列式通常可用递推法。4 3 0 0 01 4 3 0 0&=0 10 04 3 01 4 3 例8五阶行列式的值为 答疑编号：2120nl0针对该题提问2 =41000341000341000341ooo34=44i+i-A i3100041003410034=4)4+(-1)1+2.Q =4为-3D3递推公式R =4 J 3 D 3,移项得2一&=3(口4一口3)=3 x 3(D3-D2)=33D2-D1)4 3D2=16-3=132 1 4D1=|4|=4D 2 f=13-4=9=32可得：P5-Z)4=3 3(D2-Dl)=33x32=35.Q；=4+36=3$+3 4+奖 +13=364【考点四】形如：,e的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主对角线上的元素和第 行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角形行列式进行计算。0 1 1 .11 2 0 0 04=10300:0 0 0【例9】计算n阶行列式 1 ”答疑编号：21201201针对该题提问1解：第二列乘以 加到第一列上得1 1 12 0 0 00 3 0 00 0 00 0 0 0 21 0:01 01 10 0 03 0 00 00 0 011第三列乘以（一9加到第一列上得:_ 1 _20111-12 0 0 00 3 0 0=0 0 00 0 0 最后一列乘以2 30011112 0 0 00 3 0 00 0 00 0 0 加到第一列上得230002 0 0 00 3 0 00 0,.00 0 0【考点五】计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则AO AB=OcDO A _C 8 C=BA0=(-1)叫4团0如0丐 0o。20%【例1 0】四阶行列式,0a00心 的 值 等 于（）（A）口 述2 a3 a4一4她久（B）2 a3 a4+可