2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编立体几何与空间向量（学生版+解析版）（共5讲）

2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题49立体几何与空间向量第一讲1.2021年江西预赛】如图,边长为2的正方形ABCD中,E是A B的中点，现将B E C沿EC,ED折起，使EA,EB重合，组成一个四面体，则 此 四 面 体 的 体 积 是.2.【2021年吉林预赛】如图，在棱长为2的正方体ABCC-&B1C1O1中,E为BC的中点，点P在线段。送 上运动.则点P到直线C G的 距 离 的 最 小 值 为 .3.2021年福建预赛】如图，在长方体A B C D-A B iC iD i中，已知4B=BC=6,A a =2，点M、N分别在棱。A、OC上，二面角D i-M N-0的大小为45.若三棱锥5-D M N的 体 积 为 萼，则三棱锥劣-OMN外接球的表面积为4.2021年重庆预赛】设正三棱锥P-A B C的底面边长为1,高 为 或，过底边B C作此三棱锥的截面，则截 面 面 积 的 最 小 值 为.5.12020高中数学联赛A 卷（第 01试）】正三棱锥P-4 B C 的 所 有 棱 长 均 为 分 别 为 棱 P4PB,PC的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN所 截 的 截 面 面 积 为.6.【2020高中数学联赛B 卷（第 01试）】已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体积为7.【2020年福建预赛】如图所示，在正方体A B C D-A iB iG D i中，点E,F,G 分别在棱441,上,E 为4公 的中点，苦=等=；,记平面EFG与 平 面 的 交 线 为 m.则直线m 与平面ABCD所成角的正切值为.8.【2020年甘肃预赛】已知半径为4 的球面上有两点A、B,AB=4 7 2，球心为O.若球面上的动点C 满足二面角C 4 8-。的大小为60,则四面体OABC外 接 球 的 半 径 为 .9.【2020年广西预赛】设三个正四面体的棱长均为整数，它们的体积之和为乎.则这些正四面体的表面积之和为.10.【2020年吉林预赛】已知正三棱雉S-A B C 的侧棱长为6百，底面边长为6.则该正三棱雉外接球的表面积为.11.【2020年浙江预赛】在四面体P A B C中，棱 PA、AB、AC两两垂直，且PA=4B=A C,E,F分别为AB,PC的中点.则EF与平面PBC所成角0 的正弦值为.12.（2020年重庆预赛】对于四面体ABCDMB 1 BC,CD BC.BC=2，且异面直线A B 与 C D 所成的角为60.若四面体ABCD的外接球半径为近，则四面体ABCD的 体 积 的 最 大 值 为 .13.【2020年新疆预赛】现有一个能容纳10个半径为1 的小球的封闭的正四面体容器，则该容器棱长最小值为.14.【2019年全国】如图，正方体ABCD-EFGH的一个截面经过顶点A,C及棱EF上一点、K,且将正方体分 成 体 积 比 为3：1的两部分，则穿的值为KF1 5.【2 0 1 9年江苏预 赛】在 棱 长 为1的正方体A B C D-&B 1 C 1 D 1中，点E在&。1上，点尸在。上,4E=2 E%,D F=2 F C,则三棱锥B -FEG的体积是1 6.2 0 1 9年江西预 赛】P是 正 四 棱 锥V-A B C D的 高V H的中点，若 点P到侧面 的 距 离 为3,到底面 的 距 离 为5,则该正四棱锥的体积为1 7.2 0 1 9年上海预 赛】如图所示，分 别 作 正 四 面 体P A B C的平行于四个面的截面，使 得 四 面 积P A B C的四个面均被截成正六边形，截去四个小四面体后得到的多面体记为G.则 四 面 体 与 多 面 体G的表面积之比为，体积之比为.B1 8.2 0 1 9年上海预 赛】边 长 为2的正方形经如图所示的方式裁剪后，可围成一个正四棱锥则此正四棱锥体积的最大值为1 9 .2 0 1 9 年新疆预赛】一个1 5 0 X 3 2 4 x 3 7 5 的长方体由1 X 1 x 1 的单位立方体拼在一起构成的，则该长方体的一条对角线穿过 个不同的单位立方体2 0 .【2 0 1 9 年浙江预赛】如图，在 4 B C 中，/-ABC=1 2 0 ,4 B =B C =2.在A C 边上取一点。（不含A,C），将 沿线段8 D 折起，得到 P B D.当平面P B D 垂直平面4 B C 时，贝|P 到平面A B C 距离的最大值为2 1 .【2 0 1 9 年重庆预赛】已知正四面体可容纳1 0 个半径为1 的小球，则 正 四 面 体 棱 长 的 最 小 值 为.2 2 .2 0 1 9 年北京预赛】一个正方体木块的体积为5 1 2 c m 3,如图,M为棱C B 的中点,N为棱B E 1 的中点.过4M,N三点的平面切下一个三棱锥B 4 M N,则三棱锥B AMN的 全 表 面 积 是 c m2.2 3 .【2 0 1 9 年福建预赛】如图，在三棱锥P-A B C 中，以，平面A B,Z ABC=20,出=4.若三棱锥尸-A B C 外接球的半径为2 近，则直线P C与平面A B C所 成 角 的 正 切 值 为 .24.【2019年广西预赛】棱长为6 的正方体内有一个棱长为x 的正四面体且该四面体可以在正方体内任意转动，则x 的最大值为.25.2019年贵州预赛】若半径为R=2+乃 cm的空心球内部装有四个半径为r 的实心球，则 r 所能取得的最大值为 cm.26.2019年吉林预赛】已知三棱锥P-2 B C 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,ZABC是边长为2 的正三角形,E、F 分别是AC、B C的中点,NEPF=60。,则球O 的表面积为.27.【2019高中数学联赛A 卷（第 01试）】如图，正方体A8CO-EFG”的一个截面经过顶点A、C 及棱E尸上一点K,且将正方体分成体积比为3:1的两部分，则器的值为.2 8.12019高中数学联赛B 卷（第 01试）】设三棱锥PA8C满 足%=PB=3,AB=BC=CA=2,则该三棱锥体积的 最大值为.29.2018年山西预赛】四面体ABCD中，有一条棱长为3,其余五条棱长皆为2,则其外接球的半径为一3 0.【2018年福建预赛】如图，在四棱锥PA8CO中，雨，平面ABCQ,底面ABCQ为正方形，PA=AB.E,分别为尸。、BC的中点，则二面角E-F Q-A 的正切值为.BD3 1 .【2 0 1 8 年江苏预赛】已知正四面体内切球的半径是1,则 该 正 四 面 体 的 体 积 为.3 2 .【2 0 1 8 年浙江预赛】四面体P-A 8 C,PA=BC=PB=AC=娟,P C =4 8 =则该四面体外接球的半径为.3 3 .【2 0 1 8 年湖南预赛】正方体A G棱长是1,点 E、F是线段D D i，B G上的动点，则三棱锥E -A A F体积 为 一.3 4 .【2 0 1 8 年重庆预赛】顶点为尸的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，8是底面圆内的点，O为底面圆圆心，A B L O B,垂足为B,O H 1 H B,垂足为H,且 以=4,C为以的中点，则当三棱锥O-H P C的体积最大时，O B的长为.3 5 .【2 0 1 8 年湖南预赛】正方体4 BC D -中，E为 A B 的中点，F为C C 1 的中点.异面直线E F 与AC 1所 成 角 的 余 弦 值 是.2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题49立体几何与空间向量第一讲1.2021年江西预赛】如图,边长为2 的正方形ABCD中,E 是 A B 的中点，现将B E C沿 EC,ED折起，使 EA,EB重合，组成一个四面体，则 此 四 面 体 的 体 积 是.【答案】Y【解析】设 C D 的中点为F,力C D 为正三角形，其边长为2,因4F_LCC,EF1CD,于是 CD 垂直于面=y/3,AE=1,EF=2,AE2+AF2=EF2.所以AE 1 AF,SAAFF=AE-AF=,从而U=3C D S&AEF=y.2.【2021年吉林预赛】如图，在棱长为2 的正方体4B C 0-41B 1G D 1中,E 为 BC的中点，点P 在 线 段 上运动.则点P 到直线C C 的 距 离 的 最 小 值 为 .【答案】当【解析】设 Q 为点P 在底面ABCD中的投影.于是点P 到直线CC）的距离等于Q 到点C 的距离.注意到Q 在线段D E上，所以点P 到直线C G 的距离的最小值等于直角三角形DCE中斜边D E上的高，其 值 为 等 =DE2V53.2021年福建预赛】如图，在长方体4BCC-4B 1Q D 1中，己知AB=BC=6,4 4 =2，点 M、N 分别在棱D A.DC上，二面角仇一 MN-D 的大小为45.若三棱锥-DMN的 体 积 为 里，则三棱锥。】一 D M N9外接球的表面积为.【答案】【解析】如图，作C E 1 M N 于 E,连接DiE.则由正方体的性质知.MN J.I。，于是M N 1 平面5D E ,MN 1 DE.所 以/。送。为二面角D i-M N -D 的平面角/D iED =45 QE=5。=2.VD1-DMN ShDM N=i-2.g-2-MN),因此,MN=竽.设三棱雉Di D M N 外接球半径为R,则由D M Q N Q D i两两互相垂直，得2R=1 D阴+D M?+D N 2=阴+M N 2=卜+（竽 7 =第.因此，三棱锥5-DMN外接球的表面积为4TTR2=等4.2021年重庆预赛】设正三棱锥P-A B C 的底面边长为1,高 为 近，过底边B C 作此三棱锥的截面，则截 面 面 积 的 最 小 值 为 .【答案】甯28【解析】如图，设截面与边PA交于点Q，点P 在底面的射影为点。，延长A O 交 BC于点。，则BC 1 Q D ,由于B C 的长为定值，当界面QBC的面积最小时，线段Q D 的长度最小，此时QO 1 PA.由于。4=9,P。=&，则P2=苧，从而siPPAO=霁=当,则Q。=AD s in PAO=S=-Q D -BC=y 2 7 14 2 285.12020高中数学联赛A 卷（第 01试）】正三棱锥P-4 B C 的 所 有 棱 长 均 为 分 别 为 棱 P4PB,PC的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN所 截 的 截 面 面 积 为.【答案w【解析】由条件知平面/JWV与平面A8C平行，且点P 到平面LMN,ABC的距离之比为1:2.设”为正三棱锥P-ABC的面A5C的中心,PH 与平面LMN交于点K,则 尸 HJ_平面ABCPK_L平面L M N,故PK =：PH.正三棱锥2A B e可视为正四面体，设O为其中心（即外接球球心），则 O在 尸”上，且由正四面体的性质知。H=5”.结合PK 可知OK=OH.4 2即点。到平面L M N A B C等距.这表明正三棱锥的外接球被平面L M N A B C所截得的截面圆大小相等.从而所求截面的面积等于A A B C的外接圆面积，即7 T 瑙）2 =Z6.1 2 0 2 0高 中 数 学 联 赛B卷（第0 1试）】已知一个正三棱柱的各条棱长均为3,则其外接球的体积为【答 案】竽 兀【解 析】如图，设 面A 8 C和 面 的 中 心 分 别 为0和。1，记线段0。1的 中 点 为P,由对称性知,P为正三棱柱外接球的球心，以为外接球的半径.易知 P O J _ 4 O,所以2 4 =y/PO2+A O2=J(|)2+(V 3)2=亨故外接球的体积为疑（亨 尸=写 几7.【2 0 2 0年福建预赛】如图所示，在正方体4 BC D -4B 1C12中，点E,凡G分别在棱4 4 1，4 1。1，0传1上,E为A A.的中点，然=等=；,记 平 面E F G与平面的交线为m.则直线机 与 平 面A B CD所成角的D i C j 3正切值为.【解 析】图5如 图 5,设公。与 E F 的交点为P.延长G F,B i4 交于点Q，则 PQ 为平面EFG与 平 面 的 交 线，设