2021年上海西南模范中学(汇成校区)高一数学理上学期期末试题含解析

2021年上海西南模范中学(汇成校区)高一数学理上学期期末试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上有单调性，且f（﹣2）＜f（1），则下列不等式成立的是（　　） A．f（﹣1）＜f（2）＜f（3） B．f（2）＜f（3）＜f（﹣4） C．f（﹣2）＜f（0）＜f（） D．f（5）＜f（﹣3）＜f（﹣1） 参考答案： D 【考点】抽象函数及其应用；奇偶性与单调性的综合． 【分析】由已知可得函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得答案． 【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上有单调性，且f（﹣2）＜f（1）=f（﹣1）， 故函数f（x）在（﹣∞，0]上为增函数， 则f（5）=f（﹣5）＜f（﹣3）＜f（﹣1）， 故选：D 2. 已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【分析】根据图象变换规律即可得出答案． 【解答】解：∵f（x）=﹣f（x﹣1）， ∴f（x）的图象向右平移一个单位后，再沿x轴对折后与原图重合， 显然C不符合题意． 故选C． 　 3. 已知函数，则的值为（    ） A.0       B.         C.  1       D. 0或1 参考答案： B 4. 已知扇形的半径为4，圆心角为45°，则该扇形的面积为（    ） A. 2π B. π C. D. 参考答案： A 【分析】 化圆心角为弧度值，再由扇形面积公式求解即可。 【详解】扇形的半径为，圆心角为，即， 该扇形的面积为，故选． 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式的应用。 5. 函数，则（）． A． B．－1 C．－5 D． 参考答案： A ∵函数， ∴， ∴． 所以A选项是正确的．   6. 为了解儿子身高与父亲身高的关系，随机抽取了5对父子身高数据如下： 父亲身高x（cm） 174 176 176 176 178 儿子身高y（cm） 175 175 176 177 177 y对x的线性回归方程为 A. y=x－1    B. y=x+1    C. y=126    D. y=88+ 参考答案：   D 7. （4分）“”是“A=30°”的（） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也必要条件 参考答案： B 考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断． 分析： 由正弦函数的周期性，满足的A有无数多个． 解答： “A=30°”?“”，反之不成立． 故选B 点评： 本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题． 8. 集合S=｛1,3,5｝,T=｛3,6｝则等于(    ) A.         B. ｛1,3,5｝     C. ｛1,3,5,6｝       D. ｛3｝ 参考答案： D 9. 与向量平行的单位向量是（    ） A. (0,1) B. (1,0) C. D. (－3,－4) 参考答案： C 【分析】 由计算即可得出答案. 【详解】与向量平行的一个单位向量， ， 所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查向量的模和向量的坐标运算，属于基础题. 10. 设全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}，则N∩（?UM）等于（　　） A．{1，3} B．{1，5} C．{3，5} D．{4，5} 参考答案： C 【考点】交、并、补集的混合运算． 【分析】根据补集与交集的定义，求出?UM与N∩（?UM）即可． 【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合M={1，4}，N={1，3，5}， ∴?UM={2，3，5}， ∴则N∩（?UM）={3，5}． 故选：C． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若，，则__________． 参考答案： 1 解：∵，， ∴，， ∴， 因此，本题正确答案是． 12. 函数的单调增区间为          ． 参考答案： (－∞,－2) 函数是复合函数，外层是对数形式的，单减，内层是二次求内层的单减区间即可，且要求在定义域内求。内层减区间为。根据同增异减，这就是整个函数的增区间。   13. 已知，则f（x）的值域为　　． 参考答案： [，] 【考点】三角函数的最值． 【专题】计算题；函数思想；转化法；三角函数的求值． 【分析】化简函数f（x），利用二次函数与三角函数的图象和性质，求出函数f（x）的值域即可． 【解答】解：∵f（x）=sin2x+cosx=1﹣cos2x+cosx=﹣+， 且x∈[﹣，]， ∴cosx∈[﹣，]， ∴﹣1≤cosx﹣≤0， ∴﹣1≤﹣≤0， ∴≤﹣≤， 即函数f（x）的值域为[，]． 故答案为：[，]． 【点评】本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目． 14. 若集合，则集合的关系是_________  . 参考答案： 略 15. 已知集合,，若,则＝_____. 参考答案： 0或3 略 16. 从中随机选取一个数为,从中随机选取一个数为,则的概率是_________________； 参考答案： 略 17. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，若△ABC有两解，则x的取值范围是__________． 参考答案： 【分析】 利用正弦定理得到，再根据有两解得到，计算得到答案. 【详解】由正弦定理得： 若有两解： 故答案为 【点睛】本题考查了正弦定理，有两解，意在考查学生的计算能力. 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知等差数列{an}的公差，，且成等比数列；数列{bn}的前n项和Sn，且满足. （1）求数列{an}，{bn}的通项公式； （2）设，求数列{cn}的前n项和Tn. 参考答案： （1），；（2）. 【分析】 （1）根据是等差数列，可用和表示出和成等比数列的关系，解方程组求得和，进而得到；利用可得到，可知为等比数列，利用等比数列通项公式求得；（2）由（1）可得，采用错位相减法可求得结果. 【详解】（1）数列是等差数列    又，解得：    又…①，…② ①②得：     为等比数列 又，解得：    （2）由（1）知： 则 两式作差得： 【点睛】本题考查数列通项公式的求解、错位相减法求解数列的前项和的问题；涉及到等差数列基本量的计算、根据递推关系证明数列为等比数列、错位相减法的应用等知识；关键是能够根据通项为等差数列与等比数列乘积的形式确定采用错位相减法求解数列的前项和. 19. 已知为锐角，且cos=,cos=，求的值. 参考答案： 略 20. 设函数g（x）=3x，h（x）=9x （1）解方程：h（x）﹣24g（x）﹣h（2）=0； （2）令，求的值； （3）若是实数集R上的奇函数，且f（h（x）﹣1）+f（2﹣k?g（x））＞0对任意实数x恒成立，求实数k的取值范围 参考答案： 解：（1）h（x）﹣24g（x）﹣h（2）=0， ∴9x﹣24×3x﹣81=0， ∴3x=27，x=3； （2）令=， ∴p（1﹣x）=， ∵p（x）+p（1﹣x）=+=1， ∴=1006+p（）=； （3）因为是实数集R上的奇函数，所以， 解得a=﹣3，b=1，经检验符合题意，从而， 由指数函数性质知：f（x）在实数集R上单调递增． 由f（h（x）﹣1）+f（2﹣k?g（x））＞0得f（h（x）﹣1）＞﹣f（2﹣k?g（x））， 又因为f（x）是实数集R上的奇函数，所以f（h（x）﹣1）＞f（k?g（x）﹣2） 又因为f（x）在实数集R上单调递增，所以h（x）﹣1＞k?g（x）﹣2， 即32x﹣1＞k?3x﹣2对任意的x∈R都成立， 即对任意的x∈R都成立， 令≥2， ∴k＜2． 考点：函数恒成立问题． 专题：综合题；转化思想；换元法；函数的性质及应用． 分析：（1）整理可得9x﹣24×3x﹣81=0，解二次方程得3x=27，进而求出x值； （2）求出=，发现题中所求自变量值和等于1，探索p（x）+p（1﹣x）=+=1，进而得出=1006+p（）=； （3）利用函数的单调性，奇偶性得出32x﹣1＞k?3x﹣2对任意的x∈R都成立，转换为恒成立问题进行求解． 解答：解：（1）h（x）﹣24g（x）﹣h（2）=0， ∴9x﹣24×3x﹣81=0， ∴3x=27，x=3； （2）令=， ∴p（1﹣x）=， ∵p（x）+p（1﹣x）=+=1， ∴=1006+p（）=； （3）因为是实数集R上的奇函数，所以， 解得a=﹣3，b=1，经检验符合题意，从而， 由指数函数性质知：f（x）在实数集R上单调递增． 由f（h（x）﹣1）+f（2﹣k?g（x））＞0得f（h（x）﹣1）＞﹣f（2﹣k?g（x））， 又因为f（x）是实数集R上的奇函数，所以f（h（x）﹣1）＞f（k?g（x）﹣2） 又因为f（x）在实数集R上单调递增，所以h（x）﹣1＞k?g（x）﹣2， 即32x﹣1＞k?3x﹣2对任意的x∈R都成立， 即对任意的x∈R都成立， 令≥2， ∴k＜2． 点评：考查了利用换元法解不等式，利用条件，找出题中的等量关系，恒成立问题 21. 已知函数f（x）=的图象过点A（0，），B（3，3） （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断函数f（x）在（2，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明； （3）若m，n∈（2，+∞）且函数f（x）在[m，n]上的值域为[1，3]，求m+n的值． 参考答案： 【考点】函数单调性的判断与证明；函数解析式的求解及常用方法． 【分析】（1）将A、B的坐标代入函数的解析式，求出a，b的值即可； （2）根据函数单调性的定义证明即可； （3）根据函数的单调性得到关于m、n的方程，求出m、n的值，从而求出m+n的值即可． 【解答】解：（1）函数f（x）=的图象过点A（0，），B（3，3）， ∴，解得：… ∴f（x）=      … （2）函数f（x）在（2，+∞）上单调递减， 证明：任取x2＞x1＞2， 则f（x1）﹣f（x2）=… ∵x2＞x1＞2， ∴x2﹣x1＞0，x1﹣2＞0，x2﹣2＞0， ∴＞0，得f（x1）﹣f（x2）＞0， ∴f（x1）＞f（x2）， 函数f（x）在（2，+∞）上是单调递减函数    … （3）∵m，n∈（2，+∞）， ∴函数f（x）在[m，n]上单调递减， ∴f（m）=3，f（n）=1       … ∴=3， =1， ∴m=3，n=5， ∴m+n=8         … 22. 已知集合，，若，求实数的取值范围。 参考答案： 解：         （1）当时，有         （2）当时，有 又，则有       由以上可知 略