2021-2022学年湖南省怀化市洪江红岩中学高二数学理测试题含解析

2021-2022学年湖南省怀化市洪江红岩中学高二数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 将八位数135（8）化为二进制数为（　　　　） Ａ　1110101（2）　　　　Ｂ1010101（2）　　　Ｃ　1011101（2）　　　　　　Ｄ　1111001（2）　　 参考答案： C 2. 是的（   ） (A)充分而不必要条件  （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件    （D）既不充分也不必要条件 参考答案： A 3. 若（1﹣2x）2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017（x∈R），则++…+的值为（　　） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 参考答案： CD 【考点】DB：二项式系数的性质． 【分析】分别令x=0，或x=，即可求出答案． 【解答】解：由（1﹣2x）2017=a0+a1x+…a2017x2017（x∈R）， 令x=0，可得1=a0． 令x=，可得0=1+++…+， 则++…+=﹣1， 故选：C 4. 复数在复平面内对应的点不可能位于（     ）   ．第一象限    ．第二象限    ．第三象限   ．第四象限 参考答案： A 5. 已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（　　） A．若m∥α，m∥β，则α∥β B．若m∥n，m∥α，则n∥α C．若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n D．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n 参考答案： C 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系． 【分析】利用线面、面面平行、垂直的性质，判定，即可得出结论． 【解答】解：对于A，α，β有可能相交，不正确； 对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n?α，不正确； 对于C，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出C正确； 对于D，若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m、n位置关系不确定，不正确， 故选C． 6. 复数 (    ) A．     B．      C．      D． 参考答案： A 7. 函数的单调递增区间是            （  ▲  ）    A.[0，＋∞）     B. [1，＋∞）   C.（－∞，0]     D.（－∞，1] 参考答案： A 略 8. 双曲线4y2﹣25x2=100的焦点坐标是（　　） A．（﹣5，0），（5，0） B．（0，﹣5），（0，5） C．， D．， 参考答案： D 【考点】双曲线的简单性质． 【分析】根据题意，将双曲线的方程变形为标准方程﹣=1，分析可得其焦点在y轴上以及c的值，即可得焦点的坐标． 【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：4y2﹣25x2=100，变形可得其标准方程为﹣=1， 其焦点在y轴上，且c==， 则其焦点坐标为（0，±）， 故选：D． 9. 若不等式组可表示为由直线围成的三角形区域（包括边界）,则实数的范围是(   ) A. (0,2) B. (2,+∞) C. (－1,2) D. (－∞,－1) 参考答案： A 【分析】 先由题意作出表示的平面区域，再由直线恒过，结合图像，即可得出结果. 【详解】先由作出平面区域如下： 因为直线恒过， 由图像可得，当直线过与的交点时，恰好不能构成三角形， 易得与的交点为 因此，为满足题意，只需直线的斜率. 所以. 故选A   10. 直线l过点且与双曲线仅有一个公共点，这样的直线有（    ） A. 1 条          B. 2条          C. 3条             D. 4条 参考答案： C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 给出下列各对函数：①，②，③，④，其中是同一函数的是______________（写出所有符合要求的函数序号） 参考答案： ④ 12. 如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，则实数x＝______，y＝______ 参考答案： 略 13. 双曲线的离心率为______，其渐近线方程是_________________. 参考答案：   , 14. 若函数则          参考答案： 2 15. 已知，函数的单调减区间为          参考答案： （-1,1） 16. 已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为______________. 参考答案： 略 17. 如图,已知、是椭圆的长轴上两定点，分别为椭圆的短轴和长轴的端点，是线段上的动点，若的最大值与最小值分别为3、，则椭圆方程为                   ． 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 在△ABC中，A、B、C的对边分别是a，b，c，且bcosB是acosC，ccosA的等差中项． （1）求∠B的大小； （2）若a+c=，求△ABC的面积． 参考答案： 【考点】数列与三角函数的综合；解三角形． 【分析】（1）利用等差中项的性质，知acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB，由此结合三角函数的性质能够求出∠B． （2）由（1）知B=，利用余弦定理得到=，再利用三角形面积公式，能求出△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵bcosB是acosC，ccosA的等差中项， ∴acosC+ccosA=2bcosB， 由正弦定理，得sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosB， 即sin（A+C）=2sinBcosB， ∵A+C=π﹣B，0＜B＜π， ∴sin（A+C）=sinB≠0， ∴cosB=，B=． （2）由B=，得=， 即， ∴ac=2， ∴． 【点评】本题考查等差中项，正弦定理、余弦定理、三角形面积等公式的应用，解题时要认真审题，注意三角函数恒等变换的灵活运用． 19. 甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知. (1)求甲获得比赛胜利的概率； (2)求甲、乙两人获得平局的概率. 参考答案： （1）0.6；(2)0.1. 【分析】 由题意，甲、乙两人进行围棋比赛，所有的可能基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局，它们互为互斥事件，根据互斥事件的概率公式解答。 【详解】甲、乙两人进行围棋比赛，所有的可能基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙平局，分别记做事件 、、，且 、、为互斥，则“甲获得比赛胜利或者平局”为事件 、的和事件，“乙获得比赛的胜利或者平局”为、的和事件，由互斥事件的和事件概率公式得： 又 ，， 故甲获得比赛胜利的概率为； 甲、乙两人获得平局的概率为； 【点睛】本题考查互斥事件的概率公式及应用，属于基础题。 20. 已知函数f（x）=ex﹣a（x﹣1），x∈R． （1）若实数a＞0，求函数f（x）在（0，+∞）上的极值； （2）记函数g（x）=f（2x），设函数y=g（x）的图象C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线与两坐标轴所围成的图形的面积为S（a），求当a＞1时S（a）的最小值． 参考答案： 【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，对a进行讨论，分别判断函数的单调性，最后根据a的不同取值得出的结论综合即可； （2）g（x）=f（2x）=e2x﹣a（2x﹣1），计算出切线斜率，写出切线方程y﹣（1+a）=（2﹣2a）（x﹣0），求得在坐标轴上的截距，利用三角形的面积公式得到面积S（a）的表达式，最后利用基本不等式求此函数的最小值即可． 【解答】解：（1）由f'（x）=ex﹣a=0，得x=lna． ①当a∈（0，1]时，f'（x）=ex﹣a＞1﹣a≥0（x＞0）．此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．函数无极值． ②当a∈（1，+∞）时，lna＞0． x变化时f′（x），f（x）的变化情况如下表： x （0，lna） lna （lna，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） 单调减 极小值 单调增 由此可得，函数有极小值且f（x）极小=f（lna）=a﹣a（lna﹣1）=2a﹣alna． （2）g（x）=f（2x）=e2x﹣a（2x﹣1），g（0）=1+a 切线斜率为k=g'（0）=2﹣2a，切线方程y﹣（1+a）=（2﹣2a）（x﹣0）， 由∴= 当且仅当（a﹣1）2=4，即a=3时取等号．∴当a=3时，S（a）最小值为2． 【点评】考查利用导数研究函数的极值．解答关键是要对函数求导，做题时要注意对a进行讨论，最后得出函数的极值和单调区间． 　 21. 某地为了调查市民对“一带一路”倡议的了解程度，随机选取了100名年龄在20岁至60岁的市民进行问卷调查，并通过问卷的分数把市民划分为了解“一带一路”倡议与不了解“一带一路”倡议两类.得到下表： 年龄 调查人数/名 30 30 25 15 了解“一带一路”倡议/名 12 28 15 5   （I）完成下面的2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为以40岁为分界点对“一带一路”倡议的了解有差异（结果精确到0.001）；   年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 合计 了解       不了解       合计         （Ⅱ）以频率估计概率，若在该地选出4名市民（年龄在20岁至60岁），记4名市民中了解“一带一路”倡议的人数为X，求随机变量X的分布列，数学期望和方差. 附： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635   ，其中. 参考答案： （Ⅰ）填表见解析，有90%的把握认为以40岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异（Ⅱ）见解析 【分析】 （Ⅰ）由表格读取信息，年龄低于岁的人数共60人，年龄不低于岁的人数，代入公式计算； （Ⅱ）在总体未知的市民中选取4人，每位市民被选中的概率由频率估计概率算出，所以随机变量服从二项分布. 【详解】解：（Ⅰ）根据已知数据得到如下列联表   年龄低于40岁的人数 年龄不低于40岁的人数 合计 了解 不了解 合计   故有的把握认为以岁为分界点“一带一路”倡议的了解有差异. （Ⅱ）由题意，得市民了解“一带一路”倡议的概率为，. ，，， ，， 则的分布列为   ，. 【点睛】本题要注意选取4人是在总体中选，而不是在100人的样本中选，如果看成是在样本中100人选4人，很容易误用超几何分布模型求解. 22. 已知a＞0，设命题p：函数y=ax在R上单调递增；命题q：不等式ax2+ax+1＞0对?x∈R恒成立，若p且q为假，p或q为真，求a的取值范围． 参考答案： 【考点】复合命题的真假． 【分析】先解命题，再研究命题的关系，函数y=ax在R上单调递增，由指数函数的单调性解决；等式ax2+ax+1＞0对?x∈R恒成立，用函数思想，又因为是对全体实数成立，可用判断式法解决，若p且q为假，p或q为真，两者是一真一假，计算可得答案． 【解答】解：∵y=ax在R上单调递增， ∴a＞1； 又a＞0，不等式ax2+ax+1＞0对?x∈R恒成立， ∴△＜0，