湖北省宜昌市三峡中学2021年高三数学文月考试题含解析

湖北省宜昌市三峡中学2021年高三数学文月考试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 已知等差数列{an},{{bn}}的前n项和分别为Sn，Tn，若对于任意的自然数n，都有，则 A．               B．              C．               D． 参考答案： A 2. 公差不为零的等差数列中，成等比数列，则其公比为（   ） A．1                    B．2                      C．3                  D．4 参考答案： C 因为成等比数列，所以，从而， 化简得，由已知，得，所以，， 从而，故选择C。 3. 已知全集，集合，则为   A.     B.       C.      D. 参考答案： C 略 4. 函数（）的图象如右图所示，为了得到的图象，可以将的图象（       ）     A．向右平移个单位长度    B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度    D．向左平移个单位长度 参考答案： B 略 5. 某校新校区建设在市二环路主干道旁，因安全需要，挖掘建设了一条人行地下通道，地下通道设计三视图中的主（正）视力（其中上部分曲线近似为抛物）和侧（左）视图如图（单位：m），则该工程需挖掘的总土方数为（　　） A．560m3 B．540m3 C．520m3 D．500m3 参考答案： A 【考点】抛物线的应用；用定积分求简单几何体的体积． 【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】建立直角坐标系，求出抛物线的方程，求出正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积、下部分矩形面积，即可求出挖掘的总土方数． 【解答】解：以顶部抛物线顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，易得抛物线过点（3，﹣1），其方程为y=﹣，那么正（主）视图上部分抛物线与矩形围成的部分面积S1==2=4， 下部分矩形面积S2=24， 故挖掘的总土方数为V=（S1+S2）h=28×20=560m3． 故选：A． 【点评】本题是对抛物线方程在实际生活中应用的考查，考查学生的计算能力，属于中档题． 6. 已知直线和椭圆交于不同的两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为（　　） A． B． C． D． 参考答案： C 【考点】直线与椭圆的位置关系． 【分析】由题意求得M点坐标，将M代入直线方程，利用椭圆的性质，即可求得椭圆的离心率． 【解答】解：由题意可知：M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M（c，）， 则=×c，则3b2=2ac，即3c2+2ac﹣3a2=0，两边同除以a2， 整理得：3e2+2e﹣3=0，解得：e=﹣或e=， 由0＜e＜1， 故e=， 故选：C． 7. 设函数,若函数有两个极值点,则实数m的取值范围是(     ) A.    B.    C.     D. 参考答案： A 当时,,所以.令,得,设，所以在上单调递减,所以当时,有一个极值点;当或时,无极值点;当时,,所以.令,因为不是极值点,所以,记.因为,所以在和上单调递减,在上单调递增,所以当时,有一个极值点;当时,无极值点;当时,有两个极值点.综上所述,实数的取值范围是,故选A． 8. 若无穷等比数列的前项和为，首项为，公比为，且，     ()，则复数在复平面上对应的点位于               ………（   ）                                第一象限．  　第二象限．　    第三象限．    第四象限． 参考答案： D 因为，且，即。所以解得或（舍去）。所以。所以，即对应坐标为，所以点在第四象限，所以选D. 9. （5分）（2015?钦州模拟）已知函数y=f（x）满足下列条件：（1）对?x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立；（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（﹣2，0）对称；对?x、y∈R有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立．则当0＜x＜4时，x2+y2的取值范围为（　　） 　 A． （3，7） B． （9，25） C． [9，41） D． （9，49） 参考答案： C 【考点】： 导数的运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值． 【专题】： 导数的综合应用． 【分析】： 由（1）可得函数f（x）在R上单调递减；由（2）可得函数f（x）为减函数；已知对?x、y∈R有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立，化为f（x2﹣8x+21）＞﹣f（y2﹣6y）=f（6y﹣y2）．可得x2﹣8x+21＜6y﹣y2，化为（x﹣4）2+（y﹣3）2＜4．圆心C（4，3），半径R=2．可得x2+y2≥（|OC|﹣R）2=9．直线x=4与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于点P（4，1），Q（4，5）．x2+y2＜|OQ|2=41．即可得出． 解：由（1）对?x∈R，函数y=f（x）的导数f′（x）＜0恒成立，可得函数f（x）在R上单调递减； 由（2）函数y=f（x+2）的图象关于点（﹣2，0）对称，∴函数f（x）为奇函数； ∴对?x、y∈R有f（x2﹣8x+21）+f（y2﹣6y）＞0恒成立，化为f（x2﹣8x+21）＞﹣f（y2﹣6y）=f（6y﹣y2）． ∴x2﹣8x+21＜6y﹣y2， 化为（x﹣4）2+（y﹣3）2＜4．圆心C（4，3），半径R=2． ∴x2+y2＞（|OC|﹣R）2=9． 直线x=4与圆（x﹣4）2+（y﹣3）2=4相交于点P（4，1），Q（4，5）． ∴x2+y2＜|OQ|2=41． ∴则当0＜x＜4时，x2+y2的取值范围为（9，41）． 故选：C． 【点评】： 本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 10. 已知定义在区间上的函数满足，且，若恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A．         B．       C．         D． 参考答案： D 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知数列满足且，则 的值是   ▲     。                                      参考答案： 12. 已知，则的值为    ▲    ． 参考答案： 略 13. 函数的最小正周期是            参考答案： 14. 已知：的值为                  。 参考答案： 略 15. 某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩，得到了样本的频率分布直方图(如图17－3)．根据频率分布直方图，推测这3000名学生在该次数学考试中成绩小于60分的学生数是________． 参考答案： 600 16. 曲线在点（1,－1）处的切线方程是      ． 参考答案： x－y－2=0 17. 设实数，满足约束条件，则的最大值为          ． 参考答案： 14 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. （本题满分15分）已知函数. （I）求的极值； （II）当时，恒成立，求实数的取值范围. 参考答案： （I）令，则 ………2分 极小值 极大值                                                    ………5分 ，.………7分     （II）由已知，当时，恒成立      即恒成立，    ………9分           令，则    ………12分           当时, ,单调递增             当时, ,单调递减           故当时,                                                  ………15分 19. 等差数列{an}的首项a1＞0，数列的前n项和为. （1）求{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Tn. 参考答案： （1）由的前项和为知 ，可得，…………………………………………………2分 设等差数列的公差为，从而， 解得或，…………………………………………………………………4分 又，则，故。……………6分 （2）由（1）知，……………………………8分 则， 两边同时乘以4得，………9分 两式相减得，…10分 故.         ……………………………………………………12分 20. 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=BC=2AA1, ∠ABC=90°,D是BC的中点. (1)求证:A1B∥平面ADC1. (2)求二面角C1-AD-B的余弦值. (3)试问线段A1B1上是否存在点E,使AE与 DC1的夹角为60°?若存在,确定E点位置; 若不存在,说明理由. 参考答案： 解: (1)连接A1C,交AC1于点O,连接OD. 由ABC-A1B1C1是直三棱柱,得四边形ACC1A1为矩形,O为A1C的中点. 又D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线.所以A1B∥OD. 因为OD平面ADC1,A1B?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1. (2)由ABC-A1B1C1是直三棱柱,且∠ABC=90°, 得BA,BC,BB1两两垂直.以BC,BA,BB1所在 直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设BA=2,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,2,0),C1(2,0,1),D(1,0,0), 所以=(1,-2,0),=(2,-2,1). 设平面C1AD的一个法向量为n=(x,y,z), 则有所以取y=1,得n=(2,1,-2). 易知平面CAD的一个法向量为v=(0,0,1).所以cos==-. 所以二面角C1-AD-B的余弦值余弦值为-. (3)存在点E为A1B1的中点时满足条件.理由如下: 假设存在满足条件的点E.因为点E在线段A1B1上,A1(0,2,1),B1(0,0,1),[故可设E(0,λ,1),其中0≤λ≤2.所以=(0,λ-2,1),=(1,0,1). 因为AE与DC1的夹角为60°,所以|cos<,>|=||=. 即=,解得λ=1或λ=3(舍去). 所以当点E为线段A1B1的中点时,AE与DC1的夹角为60°. 略 21. 函数. （1）若，试讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 参考答案： 解：. （1）若，则在时恒成立， ∴的增区间是. （2）①若，由（1）知在上单增， 故不可能有两个零点. ②若，令，则， ∴在上单减， ∵，， ∴，使得，即， 当时，，即；当时，，即. 故在上单增，在上单减， ∴. 若有两个零点，首先须， 令，则在上单增， ∵，∴须即，∴且， 得到， 此时，1），∴， ∴. 2）取且，则， ， ∴在和各一个零点， 综上，有两个零点，的取值范围是.   22. 已知函数在处的切线方程为. （1）求函数的单调区间； （2）若k为整数，当时，恒成立，求k的最大值（其中为的导函数）. 参考答案： （1），由已知得，故，解得， 又，得，解得， ，所以， 当时，；当时，， 所以的单调区间递增区间为，递减区间为.