2021-2022学年浙江省杭州市曙光中学高三数学理测试题含解析

2021-2022学年浙江省杭州市曙光中学高三数学理测试题含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 在复平面内，复数所对应的点位于（　　） 　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 参考答案： B 考点： 复数的代数表示法及其几何意义． 专题： 计算题． 分析： 利用复数的运算法则把复数化简为z=，进而得到答案． 解答： 解：设z=即z=， 所以复数所对应的点位于第二象限． 故选B． 点评： 解决此类问题的关键是合理正确的运用复数的运算法则以及有关复数的运算性质，并且灵活运用复数的运算技巧． 2. 右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是    (    ) (A) (B) （C） (D) 参考答案： C 3. 设全集U＝R，，则（   ） （A）       （B）    （C）  （D） 参考答案： D 4. 执行如图1所示的程序框图,输出的z值为(    ) A．3     B．4       C．5       D．6 参考答案： D 5. 若、、是互不相同的空间直线，、是不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．    B． C．           D． 参考答案： 解析：对于A，或 异面，所以错误；对于B， 与 可能相交可能平行，所以错误；对于C， 与 还可能异面或相交，所以错误.故答案应选D 6. 已知椭圆： +=1（a，b＞0）和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．若椭圆上存在点P，使得?=0，则椭圆离心率e的取值范围是（　　） A．[，1） B．（0，] C．[，1） D．[，] 参考答案： C 【考点】椭圆的简单性质． 【分析】由∠APB=90°及圆的性质，可得|OP|的长，从而可求椭圆的离心率． 【解答】解：由?=0，可得∠APB=90°， 利用圆的性质，可得|OP|=b， ∴|OP|2=2b2≤a2，∴a2≤2c2 ∴e2≥， ∵0＜e＜1 ∴≤e＜1 故选：C． 7. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于        A．                  B．                  C．3                     D．5 参考答案： 8. 已知是上的偶函数，若将的图象向右平移一个单位后，则得到一个奇函数的图象，若                       （    ）     A．               B．1 C．－1             D．－1004.5 参考答案： A 9. 设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，      是底角为的等腰三角形，则的离心率为（       ）                                                               参考答案： C 10. 有命题m：“?x0∈（0，），（）＜logx0”，n：“?x0∈（0，+∞），（）=logx0＞x0”，则在命题p1：m∨n，p2：m∧n，p3：（￢m）∨n和p4：m∧（￢n）中，真命题是（　　） A．p1，p2，p3 B．p2，p3，p4 C．p1，p3 D．p2，p4 参考答案： A 【考点】复合命题的真假． 【专题】简易逻辑． 【分析】命题m：利用指数函数与对数函数的大小与1比较即可得出大小关系；命题n：利用指数函数与对数函数的图象与单调性即可得出大小关系．再利用复合命题真假的判定方法即可判断出． 【解答】解：命题m：“?x0∈（0，），（）＜1＜logx0”，因此是真命题； 命题n：“?x0∈（0，+∞），（）=logx0＞x0”，如图所示，因此是真命题． 则在命题p1：m∨n，p2：m∧n，p3：（￢m）∨n和p4：m∧（￢n）中， 真命题是p11，p2，p3是真命题，p4是假命题． 故选：A． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定、指数函数与对数函数的性质，考查了数形结合的方法、推理能力与计算能力，属于中档题． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知点在的内部，且有，记的面积分别为．若，则        ；若，则         ． 参考答案： ； 考点：平面向量的几何应用 若，则,以为邻边作平行四边形OAFB， OF与AB交于D，OF=2OD， 又所以OD=OC，所以 同理： 所以1:1:1. 若，则， 作以为邻边作平行四边形OEMF，OM交AB于D, 则，因为,所以所以 所以所以, 同理：,, 故   12. 已知，A是曲线与围成的区域，若向区域上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为      ． 参考答案： 试题分析：如图所示，，由几何概型可得.   考点：1.利用定积分求曲面面积；2.几何概型 13. 已知，tan（α﹣β）=，则tanβ=　　． 参考答案： 【考点】GR：两角和与差的正切函数． 【分析】利用二倍角的余弦函数化简已知条件，然后利用两角和与差的三角函数求解即可． 【解答】解：， 可得，解得tanα=1． tanβ=tan[α﹣（α﹣β）]= = =． 故答案为：． 14. 已知集合A={0，1，2}，则A的子集的个数为　  　． 参考答案： 8 【考点】子集与真子集． 【分析】由集合A中的元素有3个，把n=3代入集合的子集的公式2n中，即可计算出集合A子集的个数． 【解答】解：由集合A中的元素有0，1，2共3个，代入公式得：23=8， 则集合A的子集有：{0，1，2}，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{1，2}，{0，2}，?共8个． 故答案为：8． 15. 已知Sn为数列{an}的前n项和，且满足a1=1，anan+1=3n（n∈N+），则S2014=         ． 参考答案： 2?31007﹣2 考点：数列递推式． 专题：等差数列与等比数列． 分析：由anan+1=3n，得，两式作商得：，由此可得数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列，分组后利用等比数列的前n项和求得S2014． 解答： 解：由anan+1=3n，得， 两式作商得：， 又a1=1，∴a2=3， 则数列{an}的奇数项和偶数项分别构成以3为公比的等比数列， ∴S2014=（a1+a3+…+a2013）+（a2+a4+…+a2014） =+ =+ =2?31007﹣2． 故答案为：2?31007﹣2． 点评：本题考查数列递推式，考查了作商法求数列的通项公式，考查了数列的分组求和，考查等比数列的前n项和，是中档题． 16. 设变量x, y满足约束条件，则目标函数的最小值为        。 参考答案： —9； 画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数过点（3，-3）时取最小值，且最小值为-9. 17. 已知两条直线互相平行，则等于_______. 参考答案： -3或1 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足：对任意的都有，又. (I)求数列{ an }的通项公式； （II）令，求 参考答案： （Ⅰ）由① ，得（，）②. ①- ②，得，即（，）. ………………3分           由，，得， 所以（），所以数列是首项和公比都为的等比数列， 因此，. ……………… 6分 （Ⅱ）由，得，          ……………… 7分 所以，               ………………9分 所以 .                           ……………… 12分 19. 在等差数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列是首项为，公比为的等比数列，求的前项和． 参考答案： （1）解：设等差数列的公差是．       依题意 ，从而．       所以 ，解得 ． 所以数列的通项公式为 ．   （2）解：由数列是首项为，公比为的等比数列，   得 ，即， 所以   所以 ．       从而当时，；  当时，． 略 20. 已知函数满足，对任意都有，且．   （1）求函数的解析式.   （2）是否存在实数，使函数在上为减函数？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 参考答案： ∴图像的对称轴为直线，则，∴  ……………2分   略 21. （本小题满分12分）在中，、、分别是三内角、、的对边，已知． （1）求角的大小； （2）若，判断的形状． 参考答案： （1），又，∴. （2）∵，∴  ∴， ∴，∴， ∴，∵，∴ , ∴为等边三角形． 22. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC =90°，AA1丄平面ABC，AB = AC，E是线段BB1上的动点，D是线段BC的中点. (I)证明：AD丄C1E； (II)若AB = 2, AA1=,且直线AC1、C1E所成角的余弦值为,试指出点E在线段BB1上的位置，并求三棱锥B1-A1DE的体积。 参考答案： （Ⅰ）因为，所以平面. 而平面,所以平面平面.          ………2分 因为线段的中点为，且 而, . ， ………5分                      （Ⅱ），.，即.又，所以，故，所以. 在三棱柱中，，直线所成角的余弦为， 则在中，，，所以.………7分 在中，，所以.因为，所以点是线段的靠近点的三等分点.                                               ………9分 因为 所以==                           ………12分