2021年山西省太原市杏花岭第四中学高二数学文上学期期末试卷含解析

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2021年山西省太原市杏花岭第四中学高二数学文上学期期末试卷含解析 一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的 1. 对于在R上可导的任意函数f(x),若其导函数为f′(x),且满足(x﹣1)f′(x)≥0,则必有(  ) A.f(0)+f(2)≤2f(1) B.f(0)+f(2)<2f(1) C.f(0)+f(2)≥2f(1) D.f(0)+f(2)>2f(1) 参考答案: C 【考点】函数的单调性与导数的关系. 【分析】函数f(x)满足(x﹣1)f′(x)≥0,对x与1的大小关系分类讨论即可得出函数f(x)的单调性. 【解答】解:∵函数f(x)满足(x﹣1)f′(x)≥0, ∴x>1时,f′(x)≥0,此时函数f(x)单调递增; x<1时,f′(x)≤0,此时函数f(x)单调递减, 因此x=1函数f(x)取得极小值. ∴f(0)≥f(1),f(2)≥f(1), ∴f(0)+f(2)≥2 f(1), 故选:C.   2. 右图是2014年银川九中举行的校园之星评选活动中,七位评委为某位同学打出的分数的茎叶统计图,则数据的中位数和众数分别为(  ) A.86,84     B.84,84      C.85,84     D.85,93 参考答案: B 3. 等差数列中,,则(    ) A.12              B.24                   C.36              D.48 参考答案: B 略 4. 一个总体中有100个个体,随机编号为0,1,2,3,…,99,依编号顺序平均分成10个小组,组号依次为1,2,3,…10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,若第1组随机抽取的号码为m=6,则在第7组中抽取的号码是(  ) A.66 B.76 C.63 D.73 参考答案: A 【考点】系统抽样方法. 【分析】由总体容量及组数求出间隔号,然后用6加上60即可. 【解答】解:总体为100个个体,依编号顺序平均分成10个小组,则间隔号为10, 所以在第7组中抽取的号码为6+10×6=66. 【点评】本题考查了系统抽样,系统抽样是根据分组情况求出间隔号,然后采用简单的随机抽样在第一组随机抽取一个个体,其它的只要用第一组抽到的号码依次加上间隔号即可.此题为基础题. 5. 集合,,,则等于  (   )     A.         B.        C.        D. 参考答案: B 略 6. 已知 则a,b,c的大小关系是(    ) A. a>b>c B. b>a>c C. a>c>b D. c>b>a 参考答案: D 【分析】 对于看成幂函数,对于与的大小和1比较即可 【详解】因为在上为增函数,所以,由因为,,,所以,所以选择D 【点睛】本题主要考查了指数、对数之间大小的比较,常用的方法:1、通常看成指数、对数、幂函数比较。2、和0、1比较。 7. 在△ABC中,已知a=x,b=2,B=45°,如果三角形有两解,则x的取值范围是(  ) A. B. C. D.0<x<2 参考答案: A 【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;解三角形. 【分析】由题意判断出三角形有两解时,A的范围,通过正弦定理及正弦函数的性质推出x的范围即可. 【解答】解:由AC=b=2,要使三角形有两解,就是要使以C为圆心,半径为2的圆与BA有两个交点, 当A=90°时,圆与AB相切; 当A=45°时交于B点,也就是只有一解, ∴45°<A<135°,且A≠90°,即<sinA<1, 由正弦定理以及asinB=bsinA.可得:a=x==2sinA, ∵2sinA∈(2,2). ∴x的取值范围是(2,2). 故选:A. 【点评】此题考查了正弦定理,正弦函数的图象与性质,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键,属于中档题. 8. 若=(2,﹣3,1),=(2,0,3),=(0,2,2),则?(+)=(  ) A.4 B.15 C.7 D.3 参考答案: D 【考点】空间向量的数量积运算;空间向量运算的坐标表示. 【分析】先求出 +,再利用空间向量的数量积公式,求出?(+). 【解答】解:∵=(2,0,3),=(0,2,2), ∴+=(2,2,5), ∴?(+)=2×2+(﹣3)×2+1×5=3, 故选D. 9. (本小题满分5分)已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2-x+a,若函数g(x)=f(x)-x的零点恰有两个,则实数a的取值范围是(  ) A.a<0  B.a≤0 C.a≤1  D.a≤0或a=1 参考答案: D 10. 设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U = AB,则集合 的真子集共有(     )   A.3个      B.6个       C.7个      D.8个 参考答案: C 略 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 若点(a,b)在直线x+3y=1上,则的最小值为           参考答案: 2                                               略 12. 已知函数,则  ***  . 参考答案: 略 13. 已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则QF等于  . 参考答案: 3 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求得直线PF的方程,与y2=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求. 【解答】解:设Q到l的距离为d,则|QF|=d, ∵=4, ∴|PQ|=3d, ∴不妨设直线PF的斜率为﹣=2, ∵F(2,0), ∴直线PF的方程为y=﹣2(x﹣2), 与y2=8x联立可得x=1, ∴|QF|=d=1+2=3, 故答案为:3. 14. 观察按下列顺序排列的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n(n∈N*)个等式应为            . 参考答案: 9(n﹣1)+n=(n﹣1)×10+1 考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:根据已知的等式,分析等式两边数的变化规律,利用归纳推理进行归纳即可. 解答: 解:∵9×0+1=1,      9×1+2=11=10+1,      9×2+3=21=20+1,      9×3+4=31=30+1,…, ∴由归纳推理猜想第n(n∈N+)个等式应为:9(n﹣1)+n=(n﹣1)×10+1. 故答案为:9(n﹣1)+n=(n﹣1)×10+1. 点评:本题主要考查归纳推理的应用,根据规律即可得到结论,考查学生的观察与总结能力. 15. 若双曲线与圆有公共点,则实数的取值范围是         参考答案: 16. 已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为,则双曲线C的离心率为        . 参考答案: 略 17. 若是正数,且满足,用表示 中的最大者,则的最小值为__________。 参考答案: 14、3 略 三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 18. 如图,已知在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,是的中点,是线段上的点. (1)当是的中点时,求证:平面; (2)要使二面角的大小为,试确定点的位置.       参考答案: (1)由已知,两两垂直,分别以它们所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则,,则 ,,, 设平面的法向量为 则, 令得 由,得 又平面,故平面 (2)由已知可得平面的一个法向量为, 设,设平面的法向量为 则,令得 由, 故,要使要使二面角的大小为,只需 略 19. 已知椭圆过点,且离心率为. (1)求椭圆E的方程. (2)已知双曲线C的离心率是椭圆E的离心率的倒数,其顶点为椭圆的焦点,求双曲线C的方程. (3)设直线与双曲线交于M,N两点,过的直线l与线段MN有公共点,求直线l的倾斜角的取值范围. 参考答案: 见解析. 解:(1)由题意可得,, 解得,, 故椭圆方程为. (2)由题意可得双曲线离心率, ,则,, 故双曲线方程为. (3)联立,得, 解得或,则,. 20. 已知a2﹣a<2,且a∈N*,求函数f(x)=x+的值域. 参考答案: 【考点】函数的值域. 【分析】由不等式解出a的值,代入函数f(x),利用基本不等式的性质可得值域. 【解答】解:由题意:a2﹣a<2, 解得:﹣1<a<2 ∵a∈N*, ∴a=1, 则函数f(x)=, 当x>0时,≥2=,(当且仅当x=时取等号) 当x<0时,≤﹣2=﹣,(当且仅当x=﹣时取等号) 故得函数函数f(x)=的值域为(﹣∞,]∪[,+∞), 21. 某学校举行联欢会,所有参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票决定是否获奖.甲、乙、丙三名老师都有“获奖”、“待定”、“淘汰”三类票各一张,每个节目投票时,甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响.若投票结果中至少有两张“获奖”票,则决定该节目最终获一等奖;否则,该节目不能获一等奖. (1)求某节目的投票结果是最终获一等奖的概率; (2)求该节目投票结果中所含“获奖”和“待定”票票数之和X的分布列及均值和方差. 参考答案: (1);(2)的分布列为                         的数学期望为. 试题分析:(1)设“某节目的投票结果是最终一等奖”为事件,则事件包含该节目可以获张“获奖票”或该节目可以获张“获奖票”,由此能求出某节目的投票结果是最终一等奖的概率;(2)所含“获奖”和“待定”票数之和的值为,,,,分别求出相应的概率,由此能求出的分布列及数学期望. 试题解析:(1)设某节目的投票结果是最终获一等奖这一事件为,则事件包括:该节目可以获张“获奖”票,或者获张“获奖”票,∵甲、乙、丙三名老师必须且只能投一张票,每人投三类票中的任何一类票的概率都为,且三人投票相互没有影响, ∴; 6分(2)所含“获奖”和“待定”票数之和的值为,,,,,,,, 8分 因此的分布列为                       ∴的数学期望为, 12分 (亦可服从二项分布同样给分)(12分) 考点:1.概率的计算;2.离散型随机变量的分布列与期望. 22. 已知双曲线与椭圆共焦点,且以为渐近线。 (1)求双曲线方程. (2)求过双曲线右焦点且倾斜角为的直线方程 参考答案: (1)椭圆的焦点坐标为, 设双曲线方程为……………1分 则渐近线方程为 所以……………4分 解得    …………6分 则双曲线方程为       ……………7分 (2)直线的倾斜角为 直线的斜率为,      …………9分 故直线方程为      ………………11分 即        ………………12分   略
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