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2021年山东省济南市章丘第三中学高三数学文联考试卷含解析
一、 选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 函数在其定义域内可导,若,且当时,有设则
A. B. C. D.
参考答案:
C
2. 为了解学生在课外活动方面的支出情况,抽取了n个同学进行调查,结果显示这些学生的支出金额(单位:元)都在[10,50],期中支出金额在[30,50]的学生有117人,频率分布直方图如图所示,则n=
A. 180 B. 160
C. 150 D. 200
参考答案:
A
3. 阅读如图所示的程序,若输入的数据中,,,则输出的值为( )
A.4 B.6 C. 7 D.5
参考答案:
B
由题意,经阅读程序,易知该程序功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数,而易发现42与18的最大公约数为6,故正解答案为B.
4. 已知定义在上的函数满足,为的导函数,且导函数的图象如右图所示.则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
参考答案:
B
5. 设i为虚数单位,复数z满足,则为( )
A.4 B.1 C. D.2
参考答案:
D
6. 设复数满足为虚数单位),则复数对应的点位于复平面内( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
参考答案:
A
试题分析:因为,所以,即复数对应的点位于复平面内第一象限,故选A.
考点:1.复数相关的概念;2.复数的运算.
7. 已知等差数列的公差为2,若成等比数列,则前6项的和为( )
A.-20 B.-18 C. -16 D.-14
参考答案:
B
8. 设集合,,若,则( )
A.1 B.2 C.3 D.
参考答案:
B
9. 若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣n,则( )
A.Sn=2n+1﹣1 B.an=2n﹣1 C.Sn=2n+1﹣2 D.an=2n+1﹣3
参考答案:
B
【考点】数列递推式.
【分析】由Sn=2an﹣n,得a1=2a1﹣1,即a1=1;再根据数列的递推公式得到数列{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,问题得以解决.
【解答】解:由Sn=2an﹣n,得a1=2a1﹣1,即a1=1;
当n≥2时,有Sn﹣1=2an﹣1﹣(n﹣1),
则an=2an﹣2an﹣1﹣1,
即an=2an﹣1+1,
则an+1=2(an﹣1+1)
∵a1+1=2;
∴数列{an+1}是以2为首项,以2为公比的等比数列,
∴an+1=2n,
∴an=2n﹣1,
故选:B
10. 某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中,最大的是
A.8 B. C.10 D.
参考答案:
【知识点】由三视图求面积、体积.G2
【答案解析】C 解析:三视图复原的几何体是一个三棱锥,如图,四个面的面积分别为:8,6,,10,
显然面积的最大值10.
故选C.
【思路点拨】三视图复原的几何体是一个三棱锥,根据三视图的图形特征,判断三棱锥的形状,三视图的数据,求出四面体四个面的面积中,最大的值.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 方程表示的曲线所围成区域的面积是 ;
参考答案:
24
12. 设函数f(x)=,若f(a)>a,则实数a的取值范围是 .
参考答案:
(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
【分析】根据分段函数的解析式,分段求解即可.
【解答】解:函数f(x)=,
则f(a)=,
∵f(a)>a,
∴或
解得:a>1或a<﹣1.
∴实数a的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞).
【点评】本题考查了分段函数的不等式的求解,主要分段函数各自的定义域范围.属于基础题.
13. 若离散型随机变量的分布列为
1
0
则常数 ,的数学期望 .
参考答案:
,
14. 定义在上的函数满足是偶函数且是奇函数,又,则 ;
参考答案:
-2013
15. 若定义在区间上的函数对于上的任意个值总满足,
则称为上的凸函数,现已知在(0,)上是凸函数,则在锐角中,的最大值是_______
参考答案:
16. 已知向量a=(1,-2),b=(x,y),若x,y∈[1,4],则满足的概率为 .
参考答案:
17. 椭圆的右焦点为F.其右准线与x轴的交点为A,若在拥圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,則椭圆离心率的取值范围是_________.
参考答案:
三、 解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. .已知数列的前项和的平均数为
(1)求的通项公式;
(2)设,试判断并说明的符号;
(3)设函数,是否存在最大的实数? 当时,对于一切非零自然数,都有
参考答案:
解:(1)由题意,,两式相减得,而,
(2),
(3)由(2)知是数列的最小项.
当时,对于一切非零自然数,都有,
即,即,
解得或,取.
略
19. 已知a,b,c均为正数,证明:.
参考答案:
【考点】: 不等式的证明.
【专题】: 不等式的解法及应用.
【分析】: 两次运用基本不等式即可证明结论.
证明:∵a,b,c均为正数,
∴左边≥≥2=2=6,
当且仅当a=b=c时取等号,
∴.
【点评】: 本题考查基本不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确运用基本不等式是关键.
20. (本小题满分16分)
已知椭圆E:的左顶点为A,左、右焦点分别为F1、F2,且圆C:
过A,F2两点.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线PF2的倾斜角为α,直线PF1的倾斜角为β,当β-α=时,证明:点
P在一定圆上.
参考答案:
解:(1)圆与轴交点坐标为,,
故,所以,∴椭圆方程是:.
(2)设点P(x,y),因为(-,0),(,0),
设点P(x,y),则=tanβ=,=tanα=,
因为β-α=,所以tan(β-α)=-.
因为tan(β-α)==,
所以=-.化简得x2+y2-2y=3.
所以点P在定圆x2+y2-2y=3上.
21. 继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”,每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下:
以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟.
(Ⅰ)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求的分布列和期望.
(Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表).
参考答案:
(Ⅰ)李先生一次租用共享汽车,为最优选择的概率
依题意的值可能为0,1,2,3,4.
=,==
,
=
分布列
或=
(Ⅱ)每次用车路上平均花的时间=+=(分钟),
每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元.
一个月的平均用车费用约为542元.
本题考查二项分布,随机变量的分布列、数学期望.(Ⅰ),依题意求得的分布列及=(Ⅱ)求得每次用车路上平均花的时间=(分钟),每次租车的费用13.55元.一个月的平均用车费用约为542元.
22. (2017?贵州模拟)已知函数f(x)=xlnx+ax,函数f(x)的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直.
(1)求a的值和f(x)的单调区间;
(2)求证:ex>f′(x).
参考答案:
【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(1)由f′(1)=1+a=2,解得:a=1,利用导数求解单调区间.
(2)要证ex>f′(x),即证ex>lnx+2,x>0时,易得ex>x+1,即只需证明x>lnx+1即可
【解答】解:(1)f′(x)=lnx+1+a,
f′(1)=1+a=2,解得:a=1,
故f(x)=xlnx+x,f′(x)=lnx+2,
令f′(x)>0,解得:x>e﹣2,
令f′(x)<0,解得:0<x<e﹣2,
故f(x)在(0,e﹣2)递减,在(e﹣2,+∞)递增;
(2)要证ex>f′(x),即证ex﹣lnx﹣2>0,即证ex>lnx+2,
x>0时,易得ex>x+1,即只需证明x+1≥lnx+2即可,
即只需证明x>lnx+1即可
令h(x)=x﹣lnx+1,则h′(x)=1﹣,
令h′(x)=0,得x=1
h(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增,
故h(x)≥h(1)=0.
即x+1≥lnx+2成立,即ex>lnx+2,
∴ex>f′(x).
【点评】本题考查了导数的综合应用,构造合适的新函数,放缩法证明函数不等式,属于难题.
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