2021年山东省济南市章丘第三中学高三数学文联考试卷含解析

2021年山东省济南市章丘第三中学高三数学文联考试卷含解析 一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 函数在其定义域内可导，若，且当时，有设则                                    A．        B．        C．        D． 参考答案： C 2. 为了解学生在课外活动方面的支出情况，抽取了n个同学进行调查，结果显示这些学生的支出金额(单位：元)都在[10，50]，期中支出金额在[30，50]的学生有117人，频率分布直方图如图所示，则n= A. 180 B. 160 C. 150 D. 200 参考答案： A 3. 阅读如图所示的程序，若输入的数据中，，，则输出的值为（     ） A．4         B．6       C.  7       D．5 参考答案： B 由题意，经阅读程序，易知该程序功能是利用更相减损术求两个数的最大公约数，而易发现42与18的最大公约数为6，故正解答案为B.   4. 已知定义在上的函数满足，为的导函数，且导函数的图象如右图所示．则不等式的解集是（    ） A．       B．    C．        D． 参考答案： B 5. 设i为虚数单位,复数z满足，则为（   ） A．4      B．1      C．         D．2 参考答案： D 6. 设复数满足为虚数单位），则复数对应的点位于复平面内（   ） A．第一象限         B．第二象限         C．第三象限           D．第四象限 参考答案： A 试题分析：因为，所以，即复数对应的点位于复平面内第一象限，故选A. 考点：1.复数相关的概念；2.复数的运算. 7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则前6项的和为（ ） A．－20         B．－18       C. －16         D．－14 参考答案： B 8. 设集合，，若，则（    ） A．1         B．2          C．3          D． 参考答案： B 9. 若数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an﹣n，则（　　） A．Sn=2n+1﹣1 B．an=2n﹣1 C．Sn=2n+1﹣2 D．an=2n+1﹣3 参考答案： B 【考点】数列递推式． 【分析】由Sn=2an﹣n，得a1=2a1﹣1，即a1=1；再根据数列的递推公式得到数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列，问题得以解决． 【解答】解：由Sn=2an﹣n，得a1=2a1﹣1，即a1=1； 当n≥2时，有Sn﹣1=2an﹣1﹣（n﹣1）， 则an=2an﹣2an﹣1﹣1， 即an=2an﹣1+1， 则an+1=2（an﹣1+1） ∵a1+1=2； ∴数列{an+1}是以2为首项，以2为公比的等比数列， ∴an+1=2n， ∴an=2n﹣1， 故选：B 10. 某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A．8    B．    C．10       D． 参考答案： 【知识点】由三视图求面积、体积．G2  【答案解析】C  解析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10， 显然面积的最大值10． 故选C． 【思路点拨】三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值． 二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 方程表示的曲线所围成区域的面积是       ； 参考答案： 24 12. 设函数f（x）=，若f（a）＞a，则实数a的取值范围是  ． 参考答案： （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） 【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可． 【解答】解：函数f（x）=， 则f（a）=， ∵f（a）＞a， ∴或 解得：a＞1或a＜﹣1． ∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 【点评】本题考查了分段函数的不等式的求解，主要分段函数各自的定义域范围．属于基础题． 13. 若离散型随机变量的分布列为 1 0 则常数          ，的数学期望          ． 参考答案： ， 14. 定义在上的函数满足是偶函数且是奇函数，又，则          ； 参考答案： -2013 15. 若定义在区间上的函数对于上的任意个值总满足， 则称为上的凸函数，现已知在（0，）上是凸函数，则在锐角中，的最大值是_______ 参考答案： 16. 已知向量a=(1，-2)，b=(x，y)，若x，y∈[1，4]，则满足的概率为     ．   参考答案： 17. 椭圆的右焦点为F.其右准线与x轴的交点为A,若在拥圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F,則椭圆离心率的取值范围是_________. 参考答案： 三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. .已知数列的前项和的平均数为 （1）求的通项公式； （2）设，试判断并说明的符号； （3）设函数，是否存在最大的实数? 当时，对于一切非零自然数，都有 参考答案： 解：（1）由题意，，两式相减得，而， （2）， (3)由（2）知是数列的最小项. 当时，对于一切非零自然数，都有, 即，即， 解得或，取. 略 19. 已知a，b，c均为正数，证明：． 参考答案： 【考点】： 不等式的证明． 【专题】： 不等式的解法及应用． 【分析】： 两次运用基本不等式即可证明结论． 证明：∵a，b，c均为正数， ∴左边≥≥2=2=6， 当且仅当a=b=c时取等号， ∴． 【点评】： 本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确运用基本不等式是关键． 20. （本小题满分16分） 已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C： 过A，F2两点． （1）求椭圆E的方程； （2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝时，证明：点 P在一定圆上． 参考答案： 解：（1）圆与轴交点坐标为，， 故，所以，∴椭圆方程是：． （2）设点P（x，y），因为（－，0），（，0）， 设点P（x，y），则＝tanβ＝,＝tanα＝， 因为β－α＝，所以tan(β－α)＝－． 因为tan(β－α)＝＝， 所以＝－．化简得x2＋y2－2y＝3． 所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上． 21. 继共享单车之后,又一种新型的出行方式------“共享汽车”也开始亮相北上广深等十余大中城市,一款叫“一度用车”的共享汽车在广州提供的车型是“奇瑞eQ”,每次租车收费按行驶里程加用车时间,标准是“1元/公里+0.1元/分钟”,李先生家离上班地点10公里,每天租用共享汽车上下班,由于堵车因素,每次路上开车花费的时间是一个随机变量,根据一段时间统计40次路上开车花费时间在各时间段内的情况如下: 以各时间段发生的频率视为概率,假设每次路上开车花费的时间视为用车时间,范围为分钟. (Ⅰ)若李先生上、下班时租用一次共享汽车路上开车不超过45分钟,便是所有可选择的交通工具中的一次最优选择,设是4次使用共享汽车中最优选择的次数,求的分布列和期望. (Ⅱ)若李先生每天上下班使用共享汽车2次,一个月(以20天计算)平均用车费用大约是多少(同一时段,用该区间的中点值作代表). 参考答案： (Ⅰ)李先生一次租用共享汽车,为最优选择的概率 依题意的值可能为0,1,2,3,4. =,== ， = 分布列 或= (Ⅱ)每次用车路上平均花的时间=+=(分钟), 每次租车的费用约为10+35.5×0.1=13.55元. 一个月的平均用车费用约为542元. 本题考查二项分布,随机变量的分布列、数学期望.(Ⅰ),依题意求得的分布列及=(Ⅱ)求得每次用车路上平均花的时间=(分钟),每次租车的费用13.55元.一个月的平均用车费用约为542元. 22. （2017?贵州模拟）已知函数f（x）=xlnx+ax，函数f（x）的图象在点x=1处的切线与直线x+2y﹣1=0垂直． （1）求a的值和f（x）的单调区间； （2）求证：ex＞f′（x）． 参考答案： 【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）由f′（1）=1+a=2，解得：a=1，利用导数求解单调区间． （2）要证ex＞f′（x），即证ex＞lnx+2，x＞0时，易得ex＞x+1，即只需证明x＞lnx+1即可 【解答】解：（1）f′（x）=lnx+1+a， f′（1）=1+a=2，解得：a=1， 故f（x）=xlnx+x，f′（x）=lnx+2， 令f′（x）＞0，解得：x＞e﹣2， 令f′（x）＜0，解得：0＜x＜e﹣2， 故f（x）在（0，e﹣2）递减，在（e﹣2，+∞）递增； （2）要证ex＞f′（x），即证ex﹣lnx﹣2＞0，即证ex＞lnx+2， x＞0时，易得ex＞x+1，即只需证明x+1≥lnx+2即可， 即只需证明x＞lnx+1即可 令h（x）=x﹣lnx+1，则h′（x）=1﹣， 令h′（x）=0，得x=1 h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增， 故h（x）≥h（1）=0． 即x+1≥lnx+2成立，即ex＞lnx+2， ∴ex＞f′（x）． 【点评】本题考查了导数的综合应用，构造合适的新函数，放缩法证明函数不等式，属于难题．