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1、坐标系与简单曲线的极坐标方程1.极坐标方程(1)()0(0)表示的图形是()A两个圆B两条直线C一个圆和一条射线D一条直线和一条射线解析：(1)()0(0)，1 或 (0)1 表示圆心在原点，半径为1 的圆，(0)表示 x 轴的负半轴，是一条射线，故选C.答案：C 2在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，3)若以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是()A.1，3B.2，43C.2，3D.2，43解析：x2y22，xOP3，点 P 的极坐标可以是2，3.故选 C.答案：C 3在直角坐标系xOy 中，已知点 C(3，3)，若以 O 为极点，x 轴的正半
2、轴为极轴，则点 C 的极坐标(，)(0，0)可写为 _解析：由题意知 23，56.答案：2 3，564设直线过极坐标系中的点M(2,0)，且垂直于极轴，则它的极坐标方程为_解析：设所求直线的任一点的极坐标为(，)，由题意可得 cos 2.答案：cos 2 5在极坐标系中，直线 sin 42 被圆 4 截得的弦长为 _解析：直线 sin 42 可化为 xy2 20，圆 4 可化为 x2y216，由圆中的弦长公式得2r2 d22422 22243.答案：43 6设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x12x，y 3y，则在这一坐标变换下正弦曲线ysin x 的方程变为 _解析：x12x，y3y，x2x，
3、y13y.代入 ysin x 得 y 3sin 2x.答案：y 3sin 2x名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 5 页 -7在极坐标系中，已知两点A、B 的极坐标分别为3，3，4，6，则 AOB(其中 O为极点)的面积为 _解析：结合图形，AOB 的面积S12OA OB sin363.答案：3 8在极坐标系中，直线 6截圆 2cos 6(R)所得的弦长是_解析：把直线和圆的极坐标方程化为直角坐标方程分别为y33x 和 x322y1221.显然圆心32，12在直线 y33x 上故所求的弦长等于圆的直径的大小，即为2.答案：2 9直线 2x3y10 经过变换可以化为6x
4、6y10，则坐标变换公式是_解析：设直线 2x3y10 上任一点的坐标为(x，y)，经变换后对应点的坐标为(x，y)，设坐标变换公式为xkxyhy.x1kxy1hy，将其代入直线方程2x3y10，得2kx3hy10，将其与 6x6y 10 比较得 k13，h12.坐标变换公式为x13xy12y.答案：x13xy12y10在极坐标系(，)(0 2)中，曲线 2sin 与 cos 1 的交点的极坐标为_解析：由 2sin ，得 22 sin ，其普通方程为x2y22y，cos 1 的普通方程为x 1，联立x2y22yx 1，解得x 1y1，点(1,1)的极坐标为2，34.答案：2，3411求极坐标
5、方程 cos4 所表示的曲线解析：所给方程可化为 22()cos sin，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 5 页 -所以 222(cos sin )转化为直角坐标方程为x2y222(xy)，即x242y24214，即以24，24为圆心，12为半径的圆12同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换x12xy13y后，曲线C：x2y236 变为何种曲线，并求曲线的焦点坐标解析：圆 x2y236 上任一点为P(x，y)，伸缩变换后对应的点的坐标为P(x，y)，则：x2xy3y4x2 9y236，即x29y241.曲线 C 在伸缩变换后得椭圆x29y241，其焦点坐标为(5，0)
6、13已知两点A，B 的极坐标分别为4，2，4，6.(1)求 A，B 两点间的距离；(2)求直线 AB 的极坐标方程解析：(1)AOB263，OAB 为正三角形，故 AB 4.(2)设 O 在直线 AB 上的射影为H，则 H 的坐标为23，3.直线 AB 的极坐标方程33 cos sin 40.14在极坐标系中，已知圆C 的圆心坐标为C 2，3，半径 R5，求圆C 的极坐标方程解析：将圆心 C2，3化成直角坐标为(1，3)，半径R5，故圆C 的方程为(x1)2(y3)55.再将 C 化成极坐标方程，得(cos 1)2(sin 3)25.化简，得 2 4 cos 3 10，此即为所求的圆C 的极坐
7、标方程15在极坐标系中，已知三点M 2，53，N(2,0)，P 2 3，6.(1)将 M、N、P 三点的极坐标化为直角坐标(2)判断 M、N、P 三点是否在一条直线上名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 5 页 -解析：(1)由公式x cos y sin，M 的直角坐标为(1，3)，N 的直角坐标为(2,0)，P 的直角坐标为(3，3)(2)kMN32 13，kNP30323，kMNkNP，M、N、P 三点在同一条直线上16在极坐标系下，已知圆O：cos sin 和直线 l：sin 422.(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线l 与圆
8、 O 公共点的极坐标解析：(1)圆 O：cos sin ，即 2 cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为：x2 y2 xy，即 x2y2xy0，直线 l：sin 422，即 sin cos 1，则直线l 的直角坐标方程为：yx1，即 xy10.(2)由x2 y2 xy0 xy1 0得x 0y 1，故直线 l 与圆 O 公共点的极坐标为1，2.17在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为 3(R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为x2cos ，y1cos 2(为参数)，求直线l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标解析：因为直线 l 的极坐标方程为 3(R
9、)，所以直线 l 的普通方程为y3x，又因为曲线C 的参数方程为x2cos ，y1cos 2(为参数)，所以曲线 C 的直角坐标方程为y12x2(x2,2)，联立解方程组得x0，y0或x2 3，y6.根据 x 的范围应舍去x23，y6，故 P 点的直角坐标为(0,0)18如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为 4 的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹的极坐标方程，并将其化为直角坐标方程解析：设 M(，)是轨迹上任意一点，连结OM 并延长交圆A 于点 P(0，0)，则有 0，02.由圆心为(4,0)，半径为 4的圆的极坐标方程为 8cos 得 08cos 0，所以 2 8cos ，即 4co
10、s ，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 5 页 -故所求轨迹方程是 4cos ，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的圆因为 x cos ，y sin ，由 4cos 得 24 cos ，所以 x2y24x，即 x2y24x 0 为圆的直角坐标方程19求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数证明：建立如图所示的极坐标系，设抛物线的极坐标方程为 p1cos.PQ 是抛物线的弦，若点P 的极角为 ，则点 Q 的极角为 .因此有 FPp1 cos，FQp1cos p1cos.所以1FP1FQ1cos p1cos p2p(常数)20 如图，点 A 在直线 x
11、4上移动，OPA为等腰直角三角形，OPA 的顶角为 OPA(O，P，A 依次按顺时针方向排列)，求点 P 的轨迹方程，并判断轨迹形状解析：取 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x4 的极坐标方程为 cos 4，设 A(0，0)，P(，)，点 A 在直线 cos 4 上，0cos 0 4.OPA 为等腰直角三角形，且OPA2，而|OP|，|OA|0，以及 POA4，02，且 0 4.把代入，得点 P 的轨迹的极坐标方程为2 cos 44.由2 cos 44 得 (cos sin )4，点 P 的轨迹的普通方程为xy4，是过点(4,0)且倾斜角为34的直线名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 5 页 -
