专题05 极值点偏移问题与拐点偏移问题 【考点预测】1.极值点偏移的相关概念所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往如下图所示 图1 极值点不偏移 图2 极值点偏移极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏方法技巧与总结】1.对称变换主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．【注意】若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．构造差函数是解决极值点偏移的一种有效方法，函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效2.应用对数平均不等式证明极值点偏移：①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；③利用对数平均不等式来证明相应的问题.3. 比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.【题型归纳目录】题型一：极值点偏移:加法型题型二：极值点偏移:减法型题型三：极值点偏移:乘积型题型四：极值点偏移:商型题型五：极值点偏移:平方型题型六：拐点偏移问题 【典例例题】题型一：极值点偏移:加法型例1．已知函数有两个不同的零点，．（1）求实数的取值范围；（2）证明：．【解答】解：（1）函数，当时，，为减函数，当时，，为增函数，故当时，函数取最小值，若函数有两个不同的零点，．则，即；证明：（2）若函数有两个不同的零点，．不妨设，则，且，若证．即证，构造函数，，所以，所以，，令，则，所以单调递增，所以（1），所以，所以（1），即，，又，所以因为在区间上单调递增，所以，故原不等式得证．例2．已知函数有两个相异零点，．（1）求的取值范围；（2）求证：．【解答】解：（1），当时，，单调递减，当时，，单调递增；要使函数有两个相异零点，必有（1），，当时，，且，函数在有一个零点，，函数在有一个零点，的取值范围为．（2）由（1）知，，，，要证，，故构造函数，，则，所以在单调递减，（1）．，，构造函数，，下面证明，即证明，构造函数，．在上恒成立，因此在递增，从而（1），，在递增，（1），，时，，单调递增，，即．例3．已知函数，．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）若，求的零点个数；（Ⅲ）若有两个零点，，证明：．【解答】解：（Ⅰ），（1），（1），故切线方程是：；（Ⅱ）由已知，，，单调递减，，，单调递增，（1），当时，，，当时，，故函数有2个零点；（Ⅲ）由（Ⅱ），，使得，，要证，即证，，，又且在上单调递减，需证，即证，，即证，由（Ⅱ）知时，，得证，．例4．已知函数，是常数．（Ⅰ）求曲线在点，（2）处的切线方程，并证明对任意，切线经过定点；（Ⅱ）证明：时，设、是的两个零点，且．【解答】（Ⅰ）解：根据题意，函数，当，则，则，（2），（2），则切线的方程为，变形可得：，联立，得．切线经过定点；（Ⅱ）证明：函数的定义域为且，曲线在在各定义域区间内是连续不断的曲线，当时，在区间上，（2），，在区间，上有零点，在区间上，，，函数单调递减，又，若，且，则，在区间，内有零点，由单调递减知，在区间内有唯一零点．，，则，由单调递减知，，即．题型二：极值点偏移:减法型例5．已知函数．（1）若在上单调递减，求的取值范围；（2）若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．【解答】解：（1），在递减，在上恒成立，在上恒成立，令，，时，，递增，时，，递减，（1），；（2）由题意得（1），，，，，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，又（2），，，故分别在，和有零点，，（不妨设，时，，递减，时，，递增，时，，递减，故在，和有2个极值点，，而，，，（4），，，，，，故原命题成立．例6．设函数，，其中．（1）若，证明：当时，；（2）设，且，其中是自然对数的底数．①证明恰有两个零点；②设如为的极值点，为的零点，且，证明：．【解答】（1）解：令，当时，，所以在上递减，又在，上连续，所以当时，（1），即当时，；（2）证明：①，得，令，由，可知在内单调递减，又（1），且．故在有唯一解，从而在内有唯一解，不妨设为，则，当时，，所以在内单调递增；当，时，，所以在，内单调递减，因此是的唯一极值点．由（1）知．从而，又因为（1），所以在，内有唯一零点．又在内有唯一零点1，从而在内恰有两个零点．②由题意，，即，从而，即．因为当时，，又，故，两边取对数，得，于是，整理得．例7．已知函数，的导数为．（1）当时，讨论的单调性；（2）设，方程有两个不同的零点，，求证：．【解答】（1）解：，．若，则当时，，单调递增；当时，，单调递减．若，则当时，，单调递增．故当时，在上在上单调递增；在上单调递减．当时，在上单调递增．（2）证明：令，则．由（1）知，在上，单调递增．又（1）（1），所以在上，，单调递减；在上，，单调递增．又，，，所以，，故．例8．已知函数，为函数的导数．（1）讨论函数的单调性；（2）若当时，函数与的图象有两个交点，，，，求证：．【解答】解：（1），设，，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在，单调递减；当时，在单调递减．（2）证明：设，，由于，，恒成立，知函数在上为增函数且（1）， 1 0 递减极小值递增（1），，（e），知在区间，以及内各有一个零点，即为，，，知，即．题型三：极值点偏移:乘积型例9．已知，函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个零点，求的取值范围；设的两个零点分别为，，证明：．【解答】解：（1）函数的定义域为，，①当时，，在单调递增；②当时，由得，则当时，，在单调递增；当时，，在单调递减．（2）法1：函数有两个零点即方程在有两个不同根，转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，如图：可见，若令过原点且切于函数图象的直线斜率为，只须，设切点，，所以，又，所以，解得，于是，所以，法2：由（1）当时，在单调递增，不可能有两个零点，，此时，需解得，从而，又故在有一个零点；，设，，则故在单调递减在有一个零点故的取值范围为．原不等式，不妨设，，，，，，，，令，则，于是，设函数，求导得：，故函数是上的增函数，（1），即不等式成立，故所证不等式成立．例10．已知函数有最小值，且．（Ⅰ）求的最大值；（Ⅱ）当取得最大值时，设（b），有两个零点为，，证明：．【解答】解：（Ⅰ）有题意，当时，，在上单增，此时显然不成立，当时，令，得，此时在上单减，在上单增，（b），即，所以，．所以的最大值为1．（Ⅱ）证明：当取得最大值时，，，的两个零点为，，则，即，，不等式恒成立等价于，两式相减得，带入上式得，令，则，，所以函数在上单调递增，（1），得证．例11．已知函数是自然对数的底数）有两个零点．（1）求实数的取值范围；（2）若的两个零点分别为，，证明：．【解答】解：（1）由题意可得，有2个零点，令，则在时恒成立，故在上单调递增，所以有2个零点可转化为有2个零点，因为，时，，单调递增，不可能有2个零点，当时，由可得，单调递增；可得，单调递减，（a），若，则（a），此时恒成立，没有零点，若，则（a），有一个零点，若，则（a），因为（1），，所以在，上各有1个零点，符合题意，综上，的范围；（2）证明：要证，只要证，即证，由（1）可知，，，所以，，所以，只要证，设，令，，所以只要证即证，令，，则，（1），即当时，，所以即，故．例12．已知函数．（1）若函数在处的切线与轴平行，求的值；（2）若存在，，使不等式对于，恒成立，求的取值范围；（3）若方程有两个不等的实数根、，试证明．【解答】（1）解：，函数在处的切线与轴平行，（1），解得．（2）解：，，不等式化为：，存在，，使不等式对于，恒成立，，化为：．，令，，函数在，上单调递增，（1）．，因此函数在，上单调递增．（e）．的取值范围是．（3）证明：方程，即，．令，．可得：函数在时单调递增，在时单调递减．时，函数取得极大值即最大值．．方程有两个不等的实数根、．，要证明：．只要证明：即可．不妨设，则，由于函数在时单调递增，因此只要证明：即可得出，设函数，．可得在上，且．，，即，即．，．题型四：极值点偏移:商型例13．已知函数有两个相异零点、，且，求证：．【解答】证明：，由，得，由，得，在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值，且为最大值等于．由函数有两个相异零点、，可得，即．（a），，，即，则，，，．例14．已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）已知，，为函数的两个极值点，求的最大值．【解答】解：（1）当时，，，，令，可得或，令，可得，所以在，上单调递增，在，上单调递减．（2），因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个根，所以，，可得，因为，所以为增函数，为增函数且大于0，为增函数且大于0，所以为增函数，所以，令，则，令，，所以在，上单调递减，所以的最大值为（3）．例15．已知函数．（1）当时，讨论函数的单调性：（2）若函数恰有两个极值点，，且，求的最大值．【解答】解：（1）函数的定义域为，，当时，恒成立。
